Définition

La fonction \(f) qui à tout réel \(x) associe \(y = f (x)) est affine
s'il existe deux nombres réels \(a) et \(b) tels que pour tout réel \(x),
\(f (x) = a x + b).

\fold{}{Remarque (développer)}{
Remarque

Le modèle de fonction le plus simple est la fonction linéaire définie par \(f (x) = a x) ce qui correspond à \(y) est proportionnel à \(x) ;
c'est une fonction affine avec \(b=0). 

}
Une propriété caractéristique des fonctions affines est :

Propriété

Les écarts sur la variable image \(y) sont proportionnels
aux écarts sur la variable initiale \(x).

Plus précisément :

Propriété

Si \(f) est affine alors il existe un réel \(a) tel que pour tous les réels
\(x_A) et\(x_B) avec \(x_A) \ne \( x_B), \((f (x_B)- f (x_A))/(x_B-x_A )=a).
Le nombre réel \(a) est appelé le coefficient directeur de \(f).
Si \(y_A = f (x_A)) et \(y_B = f (x_B)) alors \(a=(y_B-y_A)/(x_B-x_A )).

\fold{}{Exemples concrets (Développer)}{

Propriété

Si la fonction \(f) est le coût total de \(x) objets alors \(a) est le coût marginal
c'est-à-dire le coût d'un objet supplémentaire lorsqu'on en produit déjà \(x)
et il est constant.
Si la fonction \(f) représente la position d'un objet mobile sur un axe (en mètres)
au bout de \(x) minutes, alors \(a) représente la vitesse en mètres par minutes et
cette vitesse est constante.

}

Graphiquement, le coefficient directeur est le rapport de l'augmentation verticale
par rapport à l'augmentation horizontale. Par ailleurs, \(b = f (0))
est l'ordonnée à l'origine.

Exemples

- \(f(x)=2/3 x+1)
\draw{450,350}{alt f(x)=2/3 x+1
xrange -3.2,6.2
yrange -1.5,5.5
linewidth 1
parallel -3,-2,-3,7,1,0,10,black
parallel -4,-2,7,-2,0,1,12,black
linewidth 2
arrow -3.2,0,6.2,0,10,black
arrow 0,-1.5,0,5.5,10,black

text black, -2.4,-0.1,large,"-2"
text black, -1.4,-0.1,large,"-1"
text black, -0.3,-0.1,large,"0"
text black, 0.7,-0.1,large,"1"
text black, 1.7,-0.1,large,"2"
text black, 2.7,-0.1,large,"3"
text black, 3.7,-0.1,large,"4"
text black, 4.7,-0.1,large,"5"
text black, 5.7,-0.1,large,"6"

text black, -0.4,-0.7,large,"-1"
text black, -0.3,0.3,large,"0"
text black, -0.3,1.3,large,"1"
text black, -0.3,2.3,large,"2"
text black, -0.3,3.3,large,"3"
text black, -0.3,4.3,large,"4"
text black, -0.3,5.3,large,"5"

text blue, 3.1,4.3,giant,a=2/3
text blue, 5.6,4.3,giant,2
text blue, 4.4,3.4,giant,3

segment -4.5,-2,7.5,6, blue
dlines blue,3,3,6,3,6,5
}
 
-  \(g(x)=-1/3 x+2)
 \draw{450,350}{alt g(x)=-1/3 x+2
xrange -3.2,6.2
yrange -1.5,5.5
linewidth 1
parallel -3,-2,-3,7,1,0,10,black
parallel -4,-2,7,-2,0,1,12,black
linewidth 2
arrow -3.2,0,6.2,0,10,black
arrow 0,-1.5,0,5.5,10,black

text black, -2.4,-0.1,large,"-2"
text black, -1.4,-0.1,large,"-1"
text black, -0.3,-0.1,large,"0"
text black, 0.7,-0.1,large,"1"
text black, 1.7,-0.1,large,"2"
text black, 2.7,-0.1,large,"3"
text black, 3.7,-0.1,large,"4"
text black, 4.7,-0.1,large,"5"
text black, 5.7,-0.1,large,"6"

text black, -0.4,-0.7,large,"-1"
text black, -0.3,0.3,large,"0"
text black, -0.3,1.3,large,"1"
text black, -0.3,2.3,large,"2"
text black, -0.3,3.3,large,"3"
text black, -0.3,4.3,large,"4"
text black, -0.3,5.3,large,"5"

text red, 3.5,1.7,giant,a= -1/3
text red, 1.3,2.3,giant,3
text red, 2.4,1.7,giant,- 1

segment -6,4,9,-1, red
dlines red,0,2,3,2,3,1
}

</div

Pour déterminer la fonction affine \(f) telle que \(y_A = f(x_A)) et \(y_B = f(x_B)), on calcule d'abord le coefficient directeur \(a), puis on remarque que si \(y = f (x))
alors :
\((y-y_A)/(x-x_A ) = a) donc \(y-y_A=a(x-x_A)) ainsi \(y=a(x-x_A)+y_A)
d'où \(f(x) = a(x-x_A)+y_A). 

Exemple

Si \(f) est une fonction affine telle que \(f (12) = 17) et \(f (16) = 25) alors le coefficient directeur est :
\(a = (25-17)/(16-12)=8/4 =2) et \(f (x) = 2 (x-12) + 17 = 2 x - 24 +17 = 2 x - 7).

On peut ainsi définir une fonction affine à partir des images de deux valeurs distinctes
ou déterminer une équation de droite à partir des coordonnées de deux points distincts.
C'est ainsi le moyen le plus simple pour estimer une quantité à partir de deux informations,
en supposant que les écarts sur la deuxième variable sont proportionnels
aux écarts sur la première.

