La forme canonique \(a(x - x_S)^2 + y_S) est l'écriture algébrique qui rend le mieux compte de la composition des fonctions
pour obtenir un trinôme donné comme indiqué dans le paragraphe "Utiliser des fonctions".

Elle peut être obtenue en observant la courbe si le sommet S\((x_S;y_S)) de la parabole est connu de façon précise et au moins un autre point, notamment celui d'abscisse \(x_S + 1), comme indiqué au paragraphe \link{ParabDes}{Utiliser le lien entre l'analyse et la géométrie} .

L'obtenir par factorisation partielle à l'aide des identités remarquables à partir de la forme développée est plus difficile.
\fold{\embed{ParabDevCan}}{Exemple}

C'est aussi possible de l'obtenir par identification des coefficients après avoir développé la forme canonique.
\fold{\embed{ParabIdCan}}{Exemple}

Mais le plus simple consiste à se rappeler que la forme canonique de \(a x^2 + b x + c) avec \(a \ne 0), est :
\(a(x - x_S)^2 + y_S) avec \(x_S = - \frac{b}{2 a}) et \(y_S = f(x_S)),
où le coefficient du carré \(a) est le même dans la forme développée et dans la forme canonique.

Outre la possibilité de tracer rapidement la courbe, la forme canonique donne l'accès à la factorisation lorsqu'elle est possible, à la résolution d'équations du second degré, à la démonstration de l'extremum (minimum ou maximum) et même à la démonstration des variations en utilisant celles de la fonction carré.

\fold{\embed{ParabMax}}{Exemple de démonstration de l'extremum}

\fold{\embed{ParabVar}}{Exemple d'étude des variations}