Le développement limité obtenu par le théorème de Young ou formule de
Taylor-Young ne donne  que des renseignements locaux sur la fonction,
c'est-à-dire au voisinage du point. C'est la formule de Taylor-Lagrange qui
permet d'encadrer la fonction sur un intervalle.

Cas particulier : Le théorème des accroissements finis

Théorème : Soit \(f) une fonction continue sur [a,b], dérivable
sur ]a,b[. Il existe \(c) dans  ]a,b[ tel que :

\(f(b)-f(a)=f'(c)(b-a))

Ce théorème nous renseigne sur le comportement de \(f) sur
l'intervalle [a,b]  ; en particulier, si nous savons majorer, en valeur
absolue, la dérivée de \(f) sur cet intervalle, nous connaissons une
estimation de l'erreur faite en remplaçant \(f(b)) par \(f(a)) :

\((\exists k \in \RR, \quad \forall x \in [a,b], \qquad |f'(x)|\leq k) \quad \Rightarrow \quad
|f(b)-f(a)|\leq k (b-a))

Cas général : La formule de Taylor-Lagrange

Théorème : Soit \(f) une fonction de classe \(C^n) sur
[a,b] telle que la dérivée \(f^{(n+1)}) existe
sur ]a,b[. Il existe \(c) dans  ]a,b[ tel que :

\(f(b)=f(a) + f'(a)(b-a)+f^{(2)}(a)\frac{(b-a)^2}{2}+\dots+f^{(n)}(a)
\frac{(b-a)^n}{n!})\(+f^{(n+1)}(c)\frac{(b-a)^{n+1}}{(n+1)!})

La formule de Taylor-Lagrange permet d'approcher une fonction par un
polynôme sur un intervalle donné avec une estimation de l'erreur.
S'il existe \(k) tel que pour tout \(x) de [a,b], on ait
l'inégalité : \(|f^{(n+1)}(x)|\leq k), alors l'erreur faite
en remplaçant, pour \(x) dans [a,b], \(f(x)) par \(f(a) +
f'(a)(x-a)+f^{(2)}(a)\frac{(x-a)^2}{2}+\dots+f^{(n)}(a)\frac{(x-a)^n}{n!})
est estimée par l'inégalité :

\(|f(x)-f(a)- f'(a)(x-a)-f^{(2)}(a)\frac{(x-a)^2}{2}+\dots-f^{(n)}(a)
\frac{(x-a)^n}{n!}|=)\(|f^{(n+1)}(c)\frac{(x-a)^{n+1}}{(n+1)!}|\leq k\frac{(b-a)^{n+1}}{(n+1)!})

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