\define{real x1=sqrt(10)-1}
\define{real x2=sqrt(20)-1}
\define{text cadre=xrange -2.5,6.5
yrange -1.5,5.5

arrow -2.5,0,6.5,0,10,black
arrow 0,-2.5,0,5.5,10,black
text black,1,-0.1,small,a
text black,3,-0.1,small,x
text black,5,-0.1,small,b
}
\define{text gr1=\cadre
plot blue,0.1*(x+1)^2+1+0*sqrt(x)
dsegment 1,0,1,1.4,black
dsegment 3,0,3,2.6,black
dsegment 5,0,5,4.6,black
segment -2.5,2,6.5,2,red
text red,-2.5,2.8,small,cible C
dsegment \x1,0,\x1,2,red
}
\define{text gr2=\cadre
plot blue,0.1*(x+1)^2+1+0*sqrt(x)
dsegment 1,0,1,1.4,black
dsegment 3,0,3,2.6,black
dsegment 5,0,5,4.6,black
segment -2.5,3,6.5,3,red
text red,-2.5,3.8,small,cible C
dsegment \x2,0,\x2,3,red
}
\define{text gr3=\cadre
plot blue,-0.1*(x+1)^2+5+0*sqrt(x)
dsegment 1,0,1,4.6,black
dsegment 3,0,3,3.4,black
dsegment 5,0,5,1.4,black
segment -2.5,4,6.5,4,red
text red,-2.5,4.8,small,cible C
dsegment \x1,0,\x1,4,red
}
\define{text gr4=\cadre
plot blue,-0.1*(x+1)^2+5+0*sqrt(x)
dsegment 1,0,1,4.6,black
dsegment 3,0,3,3.4,black
dsegment 5,0,5,1.4,black
segment -2.5,3,6.5,3,red
text red,-2.5,3.8,small,cible C
dsegment \x2,0,\x2,3,red
}

Pour adapter l'algorithme de la fonction cube à toute fonction soit croissante, soit décroissante, observons la situation où
 on connaît un intervalle &#91 \(a ; b) &#93 contenant la solution cherchée de l'équation \(f(x) = C) et on cherche à réduire de moitié la longueur de cet intervalle.

On calcule \(x = \frac{a + b}{2}) puis l'image de \(x) par \(f).
Si la fonction \(f) est croissante sur &#91 \(a ; b) &#93 : \(f(a) \le f(b))

-   
    
     \draw{180,140}{\gr1} \(x = \frac{a + b}{2})
  \(f(b) - f(a) \ge 0) et \(f(x) - C \ge 0)
  Le produit \((f(b) - f(a)) (f(x) - C)) est positif.

  Si \(f(x) \ge C), la solution est dans  &#91 \(a) ; \(x) &#93.

-   
     
      \draw{180,140}{\gr2}
      \(x = \frac{a + b}{2})
\(f(b) - f(a) \ge 0) et
     \(f(x) - C \le 0)
     Le produit \((f(b) - f(a)) (f(x) - C)) est négatif.

Si \(f(x) \le C), la solution est dans  &#91 \(x) ; \(b) &#93.

Si la fonction \(f) est décroissante sur &#91\(a ; b)&#93 : \(f(a) \ge f(b))

-   
  
      \draw{180,140}{\gr4}
      \(x = \frac{a + b}{2})
     \(f(b) - f(a) \le 0) et \(f(x) - C \ge 0)
     
Le produit
     \((f(b) - f(a)) (f(x) - C)) est négatif.

  Si \(f(x) \ge C), la solution est dans  &#91 \(x) ; \(b) &#93.
  
-   
    
       \draw{180,140}{\gr3}
       \(x = \frac{a + b}{2})
      \(f(b) - f(a) \le 0) et \(f(x) - C \le 0)
      
Le produit \((f(b) - f(a)) (f(x) - C)) est positif.

Si \(f(x) \le C), la solution est dans  &#91 \(a) ; \(x) &#93.

La condition \(f(x) \ge C) ne conduit pas au même intervalle selon que la fonction est croissante ou décroissante.
Par contre, le signe du produit \((f(b) - f(a)) (f(x) - C)) indique le bon intervalle.
Et si le produit \((f(b) - f(a)) (f(x) - C)) est nul, c'est que \(a=b) ou \(f(x)=C).

