\def{integer a=randint(2,3,4)}
\def{integer xS=randint(-1,1)*randint(2,4)}
\def{integer yS=randint(-1,1,2,3)}
\def{text s=\yS>0? + : }

Les paraboles sont des objets géométriques auxquels on peut appliquer
des transformations géométriques, notamment des translations.
Celles qui ont un axe vertical ont une équation du type
\(y = a*x^2 + b*x + c) avec \(a \neq 0) dans un repère orthonormé donné.
Ce sont aussi les courbes des fonctions trinômes.
Chaque transformation géométrique va modifier la formule du trinôme associé.

Comprendre le lien entre les transformations et les fonctions associées permet de
trouver une formule de fonction à partir d'une fonction de référence en observant
les points particuliers de sa courbe.

C'est l'enjeu de l'exercice "La fusée retardée 1".

Il faut d'abord que la courbe de la fonction soit une parabole d'axe vertical.
puis repérer les coordonnées \((x_S ; y_S)) du point d'intersection
de cet axe avec la parabole,
repérer si ce point correspond à un minimum ou un maximum,
ce qui donne le signe de \(a) (respectivement positif ou négatif).

La courbe est alors l'image de celle de la fonction \(x \mapsto a x^2)
par la translation de vecteur \(x_S \vec{i} + y_S \vec{j}) et la formule de la fonction est :

 \(f(x) = a (x - x_S)^2 + y_S).

Pour déterminer \(a), on peut remarquer que \(f (x_S + 1) - f (x_S) = a),
ce qui ressemble à la technique du coefficient directeur mais n'est valable
qu'en partant du sommet \(S)
de la parabole et seulement pour le point d'abscisse \(x_S + 1).

D'ailleurs \(a) ne s'appelle pas le coefficient directeur du trinôme mais on peut
l'appeler le coefficient du carré.

Savoir trouver la forme canonique à partir d'une expression algébrique
permet de résoudre des problèmes de géométrie.

La formule d'un trinôme peut représenter l'aire d'une surface constituée de figures géométriques ;
en effet si \(x) peut représenter une longueur, \(x^2) représente l'aire du carré de côté \(x),
et \(x =) 1 \(x) représente l'aire du rectangle de côtés 1 et \(x).
C'est une autre façon de voir les formules algébriques et cela peut permettre
de se rappeler les identités remarquables.

Garçon nommé G.O.Maitrie

Exemple
  
\(a=\a) \(x_S = \xS) \(y_S = \yS)
\(f(x) = \a*(x-\xS)^2+\yS)
\draw{300,300}{
xrange = -5,7
yrange=-2,10
parallel -5,-2,-5,10,1,0,13,lightblue
parallel -5,-2,7,-2,0,1,13,lightblue
arrow -5,0,7,0,10,black
arrow 0,-2,0,10,10,black
text black,-0.2,-0.1,medium,0

text black,-1.1,-0.1,medium,-1
text black,-2.1,-0.1,medium,-2
text black,-3.1,-0.1,medium,-3
text black,-4.1,-0.1,medium,-4
text black,0.9,-0.1,medium,1
text black,1.9,-0.1,medium,2
text black,2.9,-0.1,medium,3
text black,3.9,-0.1,medium,4
text black,4.9,-0.1,medium,5
text black,5.9,-0.1,medium,6
text black,6.9,-0.1,medium,7
text black,-0.3,1.3,medium,1
text black,-0.3,2.3,medium,2
text black,-0.3,3.3,medium,3
text black,-0.3,4.3,medium,4
text black,-0.3,5.3,medium,5
text black,-0.3,6.3,medium,6
text black,-0.3,7.3,medium,7
text black,-0.3,8.3,medium,8
text black,-0.3,9.3,medium,9
plot green,\a*x^2
dline 1,0,1,\a,black
plot red,\a*(x-\xS)^2+\yS
arrow 0,0,\xS,\yS,10,black
text red,\xS,\yS-0.1,medium,S
dline \xS,\yS,\xS+1,\yS,black
dline \xS+1,\yS,\xS+1,\yS+\a,black
text red,\xS+1.1,0.5*\a+\yS,medium,a
text red,1.1,0.5*\a,medium,a
}

Le sommet a pour coordonnées (\xS ; \yS).
Le vecteur de la translation est :

\(\xS \vec{i}) \s \(\yS \vec{j}).

