Soit \(n) un entier strictement positif alors la fonction qui à tout réel positif ou nul \(x) associe \(x^n) est
définie, continue et strictement croissante sur [0 ; \(+\infty )&#91 et l'ensemble des images
est \(\rbrack 0 ; +\infty \lbrack\).

Conséquences

Si \(a \ge 0) et si \(n \in \NN^*), l'équation \(x^n = a) admet une solution
  et une seule dans \(\rbrack 0 ; +\infty \lbrack\) qui est appelée
  la racine \(n)ième de \(a).
Si \(a) et \(b) sont des réels positifs, si \(n \in \NN^*) et si \(a^n=b^n) alors \(b=a).

Définition

Si \(a \in \rbrack 0 ; +\infty \lbrack\) et \(n \in \NN^*),
 on note \(\root{n}{a}) l'unique solution réelle positive ou nulle de l'équation \(x^n=a).

Ceci permet de calculer le taux annuel moyen ou le taux mensuel moyen.
Si \(a \gt 0\) alors \((\root{4}{a^3})^100 = (a^3)^25 = a^75 = (\root{100}{a^75})^100\),
donc \(\root{4}{a^3} = \root{100}{a^75}) ;
or \(\frac{3}{4} = \frac{75}{100}), d'où l'idée d'écrire
\(\root{4}{a^3} = a^{\frac{3}{4}} = a^{\frac{75}{100}}= \root{100}{a^75})
et plus généralement de noter la racine de \(a) par \(a^{\frac{1}{n}}).

Définition

Si \(a \in \rbrack 0 ; +\infty \lbrack\) et \(n \in \NN^*),
on note \(a^{1/n}) l'unique solution réelle positive ou nulle de l'équation \(x^n=a).

Ainsi \(\root{n}{a} = a^{1/n}) mais \(0^0) n'est pas défini.
On démontre en exercice la cohérence de cette notation et que les règles
sur les puissances entières s'appliquent aussi
 aux puissances rationnelles de nombres réels strictement positifs.
On définit ainsi \(a^{p/n} = \root{n}{a^p}) et \(a^{-p/n} = \frac{1}{\root{n}{a^p}})
pour \(a \gt) 0.
