\def{integer a=randint(2..5)}
\def{integer xS=randint(6..10)}
\def{integer yS=randint(11..20)}

L'expression d'un trinôme est sous la forme canonique si elle est écrite \(a(x-x_S)^2+y_S) où \(a \ne 0).
Nous allons démontrer que si \(a \gt 0), \(y_S) est le minimum du trinôme sur \(\,\RR) et que
si \(a \lt 0), \(y_S) est le maximum du trinôme sur \(\,\RR).
Nous effectuons cette démonstration sur des exemples, puis dans le cas général.

 Démontrons que \yS est le maximum de \(-\a*(x-\xS)^2+\yS) sur \(\,\RR).

 Démontrons que \yS est le minimum de \(\a*(x-\xS)^2+\yS) sur \(\,\RR).

  \((x-\xS)^2) est un carré donc est positif ou nul
donc \(\a*(x-\xS)^2) est aussi positif ou nul.
Dans \(-\a*(x-\xS)^2+\yS), on retranche un nombre positif ou nul à \yS
Le résultat est donc inférieur ou égal à \yS.
Par ailleurs, si \(x=\xS) alors \(-\a*(x-\xS)^2+\yS=\yS).
Cela achève de démontrer que :
\yS est le maximum de \(-\a*(x-\xS)^2+\yS) sur \(\,\RR).
  \((x-\xS)^2) est un carré donc est positif ou nul
donc \(\a*(x-\xS)^2) est aussi positif ou nul.
Dans \(\a*(x-\xS)^2+\yS), on ajoute un nombre positif ou nul à \yS
Le résultat est donc supérieur ou égal à \yS.
Par ailleurs, si \(x=\xS) alors \(\a*(x-\xS)^2+\yS=\yS).
Cela achève de démontrer que :
\yS est le minimum de \(\a*(x-\xS)^2+\yS) sur \(\,\RR).

 Démontrons que
Si \(a \lt 0) alors \(y_S) est le maximum de \(a*(x-x_S)^2+y_S) sur \(\,\RR).
 Démontrons que
Si \(a \gt 0) alors \(y_S) est le minimum de \(a*(x-x_S)^2+y_S) sur \(\,\RR).

 On suppose ici que \(a \lt 0)
 \((x-x_S)^2) est un carré donc est positif ou nul,
donc \(a*(x-x_S)^2) est négatif ou nul.
Dans \(a*(x-x_S)^2+y_S), on ajoute un nombre négatif ou nul à \(y_S).
Le résultat est donc inférieur ou égal à \(y_S).
Par ailleurs, si \(x=x_S) alors \(a*(x-x_S)^2+y_S=y_S).
Cela achève de démontrer que :
\(y_S) est le maximum de \(a*(x-x_S)^2+y_S) sur \(\,\RR).
 On suppose ici que \(a \gt 0)
 \((x-x_S)^2) est un carré donc est positif ou nul
donc \(a*(x-x_S)^2) est aussi positif ou nul.
Dans \(a*(x-x_S)^2+y_S), on ajoute un nombre positif ou nul à \(y_S).
Le résultat est donc supérieur ou égal à \(y_S).
Par ailleurs, si \(x=x_S) alors \(a*(x-x_S)^2+y_S=y_S).
Cela achève de démontrer que :
\(y_S) est le minimum de \(a*(x-x_S)^2+y_S) sur \(\,\RR).

Les démonstrations ci-dessus montrent que le point de coordonnées \((x_S ; y_S)
est le sommet de la parabole d'équation \(y=a*(x-x_S)^2+y_S).
