\def{integer a=random(-1,1)*random(2,3,4,5)}
\def{integer x=random(2,3,4,5)}
\def{integer y=random(-1,1)*random(2,3,4,5)}
\def{text s1=\a>0? > : <}
\def{text s2=\a>0? < : >}
\def{text v1=\a>0? décroissante : croissante }
\def{text v2=\a>0? croissante  : décroissante }

Variations de \(g(x) = \a*(x - \x)^2 + \y)

 Soient \(x_1) et \(x_2) deux nombres réels quelconques
de &#93 -\infty ; \x &#93 tels que \(x_1 \lt x_2) alors :

\(x_1  \lt x_2 \le \x)
\(x_1 - \x \lt x_2 - \x \le 0)
\((x_1 - \x)^2  > (x_2 - \x)^2)

car la fonction carré est strictement décroissante sur &#93 \(-\infty) ; 0 &#93

\(\a*(x_1 - \x)^2) \s1 \(\a*(x_2 - \x)^2)
\(\a*(x_1 - \x)^2 + \y) \s1 \(\a*(x_2 - \x)^2 + \y)
\(g(x_1)) \s1 \(g(x_2))
Pour tous les nombres réels \(x_1) et \(x_2) de &#93 -\infty ; \x &#93 tels
que \(x_1 \lt x_2) on a \(g(x_1)) \s1 \(g(x_2)) donc la fonction
\(g) est strictement \v1 sur &#93 -\infty ; \x &#93.

 Soient \(x_1) et \(x_2) deux nombres réels quelconques
de &#91 \x ; + \infty &#91 tels que \(x_1 \lt x_2) alors :

\(\x \le x_1  \lt x_2)
\(0 \le x_1 - \x  \lt x_2 - \x)
\((x_1 - \x)^2  \lt (x_2 - \x)^2)

car la fonction carré est strictement croissante sur &#91 0 ; + \(\infty) &#91

\(\a*(x_1 - \x)^2) \s2 \(\a*(x_2 - \x)^2)
\(\a*(x_1 - \x)^2 + \y) \s2 \(\a*(x_2 - \x)^2 + \y)
\(g(x_1)) \s2 \(g(x_2))
Pour tous les nombres réels \(x_1) et \(x_2) de &#91 \x ; + \(\infty) &#91 tels
que \(x_1 \lt x_2) on a \(g(x_1)) \s2 \(g(x_2)) donc la fonction
\(g) est strictement \v2 sur &#91 \x ; + \(\infty) &#91.

