## I Pourcentages directs (de proportion ou de répartition)

Calculer le pourcentage d'une quantité par rapport à une autre, c'est trouver la valeur de cette quantité pour obtenir la même proportion en supposant que la référence soit égale à 100.

En fait, il s'agit simplement de calculer la proportion d'une quantité par rapport à une autre.
\fold{\embed{P100Ex1}}{

### Exemple

}

Il faut bien noter qu'un pourcentage exprime une proportion et n'a de sens que si on précise quelle est la référence qui correspond aux 100 %.

Remarquer aussi que les calculs tombent rarement "justes" et qu'il faudra souvent arrondir le résultat, la précision peut varier selon le contexte (à 1 % près, ou 0,1 % près...). Dans les calculs ultérieurs, il faut reprendre le quotient exact pour éviter de cumuler les erreurs d'arrondi.

Cas général: On peut considérer le tableau suivant, ce qui revient à l'égalité \(\frac{y}{x} = \frac{p}{100}= t):

Tableau de proportionnalité
Effectif | Pourcentage
--- | ---
Partie | \(y) | \(p)
Total | \(x) | 100

Schématiquement :
\(\Large{x\underset{\phantom{xxx}\times t\phantom{xxx}}{\overset{p\%}{\mapsto}}y }\) avec \(t=\frac{p}{100}) et \(\frac{y}{x} = \frac{p}{100})

- Calcul de la partie à partir du tout : \(y=\frac{p}{100}x)
- Calcul du tout à partir de la partie : \(x = \frac{y}{t})
- Calcul du pourcentage : \(p=\frac{y}{x} \times 100)

## II Pourcentages d'augmentation

\fold{\embed{P100Ex2}}{

### Exemple

}

Augmenter une quantité de \(p) %, c'est la multiplier par \((\frac{100+p}{100})) autrement dit par \((1 +\frac{p}{100})).

On peut considérer le tableau suivant, ce qui revient à l'égalité \(\frac{y}{x} = \frac{100 + p}{100}= 1 + t) :

| Effectif | Pourcentage
Valeur finale | \(y) | \(100 + p)
Valeur initiale | \(x) | 100

Schématiquement :
\(\Large{x\underset{\phantom{xxx}\times (1+t)\phantom{xxx}} {\overset{+ p\%}{\mapsto}}y }\) avec \(t=\frac{p}{100}), \(x) = valeur initiale, \(y) = valeur finale

- Calcul de la valeur finale : \(y=(1+\frac{p}{100}) x)
- Calcul de la valeur initiale : \(x = \frac{y}{1 + t})
- Calcul du pourcentage : \(p=\frac{y - x}{x} \times 100)

### Exemple

Un DVD coûte 20 € Toute Taxe Comprise, la TVA est de 15 % sur le prix Hors Taxe. Quel est le prix H.T. de ce DVD ?
On cherche l'antécédent à l'aide du schéma :
\(\Large{x\underset{\phantom{xxx} \times (1+0,15)\phantom{xxx}}{\overset{+ 15\%}{\mapsto}} 20}\)
Le prix H.T. de ce DVD est \(\frac{20}{1,15} \approx 17,39) € et non pas \(20 - \frac{15}{100} 20) car les 15 % portent sur \(x) et non pas sur 20.
Rechercher la valeur initiale avant une hausse de 15 % ne revient pas à appliquer une diminution de 15 % sur la valeur finale.

## III. Pourcentages de diminution

Diminuer une quantité de \(p) %, c'est la multiplier par \((\frac{100-p}{100})) autrement dit par \((1 - \frac{p}{100})).

On peut considérer le tableau suivant, ce qui revient à l'égalité : \(\frac{y}{x} = \frac{100 - p}{100}= 1 - \frac{p}{100}).

| Effectif | Pourcentage
Valeur finale | \(y) | \(100 - p)
Valeur initiale | \(x) | 100

Schématiquement :
\(\Large{x\underset{\phantom{xxx} \times (1-p/100)\phantom{xxx}}{\overset{-p\%}{\mapsto}}y }\) avec \(t=-\frac{p}{100}), \(t\) négatif, \(x) = valeur initiale et \(y) = valeur finale

- Calcul de la valeur finale : \(y=(1 - \frac{p}{100}) x)
- Calcul de la valeur initiale : \(x = \frac{y}{1 - p/100})
- Calcul du taux \(t = \frac{- p}{100} =\frac{y - x}{x} = \frac{y}{x} - 1)
- Calcul du pourcentage : \(p = - \frac{y - x}{x} \times 100)

Remarque : Le taux d'évolution \(t) est toujours égal à \(\frac{\text{valeur finale} - \text{valeur initiale}}{\text{valeur initiale}}). S'il est positif, il s'agit d'une augmentation ; s'il est négatif, il s'agit d'une diminution.

### Exemple

Un DVD coûte 18 € après une remise de 25 % sur le prix initial. Quel était le prix de ce DVD avant la remise ?
Il ne faut pas ajouter 25 % au prix final puisque les 25 % doivent s'appliquer sur le prix initial.
On peut utiliser une équation : \(x - \frac{25}{100} x = 18), c'est-à-dire \(0,75 x = 18), ou plus directement, rechercher l'antécédent à l'aide du schéma :
\(\Large{x\underset{\phantom{xxx} \times (1-0,25)\phantom{xxx}}{\overset{-25 \%}{\mapsto}} 18 }\)
Le prix initial de ce DVD est \(\frac{18}{0,75}= 24) €.
On n'obtient pas le bon résultat si on augmente le prix final de 25 %, cela donnerait \(18 + \frac{25}{100} 18 = 22,5).

## IV Conclusion

Les types de pourcentages envisagés ici sont :

- les pourcentages proportions (incluant les pourcentages de répartition),
- les pourcentages d'augmentation (qui font partie des pourcentages d'évolution),
- les pourcentages de diminution (qui font partie des pourcentages d'évolution).

Les types de questions envisagées ici sont :

- trouver la valeur de la quantité observée (la valeur de la partie ou la valeur finale),
- trouver le pourcentage \(p) (ou le taux \(t) = \(p) % = \(p)/100 ou le coefficient multiplicateur),
- trouver la référence des 100 % (la totalité ou la valeur initiale).

Les types de méthodes proposées ici sont :

- dessiner, schématiser pour représenter la situation, traduire géométriquement le problème.
- faire un tableau de proportionnalité, écrire des proportions égales, résoudre une équation,
- utiliser un opérateur ou une fonction linéaire.

### Attention

On ne peut additionner des pourcentages que s'ils ont la même référence.

Chercher la valeur initiale avant une augmentation de \(p) % ne consiste pas à diminuer la valeur finale de \(p) %.
Et chercher la valeur initiale avant une diminution de \(p) % ne consiste pas à augmenter la valeur finale de \(p) %.
Une augmentation de 10 % suivie d'une diminution de 10 % sur la nouvelle valeur ne redonne pas la valeur initiale.

Il faut donc bien repérer si la situation correspond à une augmentation ou une diminution.

Il faut aussi distinguer ces pourcentages du calcul direct de la valeur de l'augmentation ou de celle du rabais, qui sont des pourcentages proportions.

Le pourcentage de répartition donne les proportions de chacun des constituants d'un tout, ainsi il ne peut dépasser 100 %.

Enfin, une diminution de plus de 100 % est difficile à interpréter (si cela a un sens).

Il faut noter aussi qu'aucun pourcentage d'évolution ne peut se calculer à partir d'une valeur nulle.