Une suite numérique est un ensemble ordonné de nombres. On note souvent \(u_0)
le terme initial, puis \(u_1),  \(u_2),  \(u_3),
… les termes suivants. La notion de suites numériques concerne souvent des phénomènes
qui sont décrits d'étape en étape.

On peut aussi considérer qu'une suite est une fonction définie sur une partie de
l'ensemble des entiers naturels qui à chaque entier \(n) de
son ensemble définition associe \(u_n).

Définition

Si on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre, on dit
que la suite est arithmétique, et le nombre ajouté à chaque
étape est appelé la raison.

Exemple

On considère la suite arithmétique \((u_n)) de raison 3 et de terme initial \(u_0 = 5).
On peut calculer les termes de proche en proche :

\(u_0=5\underset{u_1=u_0+3}{\overset{+3}{\longrightarrow}}
 u_1 = 8 \underset{u_2=u_1+3}{\overset{+3}{\longrightarrow}}
u_2 = 11 \underset{u_3=u_2+3}{\overset{+3}{\longrightarrow}}
u_3 = 14\underset{u_4=u_3+3}{\overset{+3}{\longrightarrow}}
u_4 = 17\)

La formule \(u_{n + 1} = u_n + 3) est la formule de récurrence
de la suite \((u_n)).

Pour obtenir \(u_4) on aura ajouté 4 fois 3 à \(u_0) donc \(u_4 = u_0 + 4 \times 3 = 5 + 12 = 17)

Pour obtenir \(u_n) on aura ajouté \(n) fois 3 à \(u_0) donc \(u_n = u_0 + n \times 3) ainsi \(u_n = 5 + 3 n)

La formule \(u_n = 5 + 3n) est la formule explicite (ou formule générale) de la suite \((u_n)).

Pour obtenir \(u_10) on ajoutera 6 fois 3 à \(u_4) et donc \(u_10 = u_4 + (10 - 4) \times 3 = 17 + 6 \times 3 = 35).

Théorème

Si la suite \((u_n)) est arithmétique de raison \(r), alors
la suite \((u_n)) a pour formule de récurrence:
 \(u_{n + 1} = u_n + r)
et la suite \((u_n)) a pour formule explicite :
\(u_n = u_0 + r n). 
Si \(n) et \(p) sont deux entiers positifs,
\(u_n = u_p + (n - p) r) en particulier \(u_n = u_1 + (n - 1) r).

Théorème

Soit \((u_n)) une suite arithmétique de raison \(r).

- Si la raison \(r\) est positive alors la suite \((u_n)) est croissante.
- Si la raison \(r\) est négative alors la suite \((u_n)) est décroissante.

On représente les suites par des points dans un repère cartésien.
Pour une suite arithmétique de raison \(r), les points sont sur la droite
de coefficient directeur \(r) et d'ordonnée à l'origine \(u_0), d'équation \(y= r n + u_0).

Exemple

- 
\((u_n)) est une suite arithmétique de raison 3
 et de terme initial \(u_0=5),
 \(y = 3x + 5)

\draw{400,300}{alt y = 3x + 5
xrange -0.5,5.5
yrange -1,16.5
linewidth 1
parallel 0,0,0,19,1,0,9,black
parallel 0,0,6,0,0,1,22,black
linewidth 2
arrow 0,0,5.5,0,10,black
arrow 0,0,0,16.5,10,black

text black, -0.1,-0.1,large,"0"
text black, 0.9,-0.1,large,"1"
text black, 1.9,-0.1,large,"2"
text black, 2.9,-0.1,large,"3"
text black, 3.9,-0.1,large,"4"
text black, 4.9,-0.1,large,"5"
text black, 5.9,-0.1,large,"6"

text black, -0.3,0.8,large,"0"
text black, -0.3,5.8,large,"5"
text black, -0.3,10.8,large,"10"
text black, -0.3,15.8,large,"15"

segment 0,5,5,20, lightblue
crosshairs red,0,5,1,8,2,11,3,14,4,17
}

- 
\(v_0 = 10) et pour tout entier naturel \(n), \(v_{n + 1} = v_n - 2),
\(y = -2x + 10)

\draw{400,300}{alt y = -2x + 10
xrange -0.5,5.5
yrange -1,16.5
linewidth 1
parallel 0,0,0,19,1,0,9,black
parallel 0,0,6,0,0,1,22,black
linewidth 2
arrow 0,0,5.5,0,10,black
arrow 0,0,0,16.5,10,black

text black, -0.1,-0.1,large,"0"
text black, 0.9,-0.1,large,"1"
text black, 1.9,-0.1,large,"2"
text black, 2.9,-0.1,large,"3"
text black, 3.9,-0.1,large,"4"
text black, 4.9,-0.1,large,"5"
text black, 5.9,-0.1,large,"6"

text black, -0.3,0.8,large,"0"
text black, -0.3,5.8,large,"5"
text black, -0.3,10.8,large,"10"
text black, -0.3,15.8,large,"15"

segment 0,10,6,-2, lightblue
crosshairs red,0,10,1,8,2,6,3,4,4,2,5,0
}

