\def{text f0 =xrange 0,80
yrange 0,16
arrow 0,8,80,8,20,black}
\def{text f1 =\f0
line 0,0,0,16,black}
\def{text g1 =xrange 0,80
yrange 0,20
line 79,0,79,16,black
arrow 80,8,0,8,20,black}
\def{text dessin=xrange -0.4,5.6
yrange -0.5,5.5
linewidth 1
parallel -0.4,-0.4,5.6,-0.4,0,0.2, 35, lightblue
parallel -0.4,-0.4,-0.4,5.6,0.2,0, 35, lightblue
linewidth 2
parallel -0.4,1,5.6,1,0,1,5, grey
parallel 1,-0.4,1,5.6,1,0, 5, grey

linewidth 2
arrow  -0.4,0,5.6,0,10,black
arrow   0,-0.5,0,5.5,10,black

text black,-0.2,-0.05,large,0
text black,0.9,-0.05,large,1
text black,1.9,-0.05,large,2
text black,2.9,-0.05,large,3
text black,3.9,-0.05,large,4
text black,4.9,-0.05,large,5
text black,-0.3,1.2,large,1
text black,-0.3,2.2,large,2
text black,-0.3,3.2,large,3
text black,-0.3,4.2,large,4
text black,-0.3,5.2,large,5
linewidth 1
line 4.15,1.8,4.2,1.7,red
line 4.2,1.7,4.3,1.9,red
line 4.3,1.9,4.5,1.9,red
}
\def{text Gr1=\dessin
linewidth 3
plot black,x
plot green,x^2
plot red,sqrt(x)

text black,3.5,3.3,giant,y = x
text green,0.7,3.6,giant,y = x
text green,1.5,3.7,large,2
text green,0.8,0.4,giant,f
text red,3.5,1.9,giant,y =
text red,4.3,1.9,giant,x
text red,0.2,0.9,giant,g
}
Considérons une fonction \(f) définie sur l'ensemble de définition \(D_f) et dont l'ensemble des images est \(I_f).
Le mot fonction impose que chaque élément de \(D_f) ait une image et une seule.
Si chaque élément de \(I_f) est l'image par \(f) d'un seul élément de \(D_f),
autrement dit s'il a un seul antécédent par \(f) dans \(D_f), 
alors on peut définir une fonction \(g) de \(I_f) dans \(D_f) qui à chaque élément de \(I_f) associe son antécédent par \(f).
On dit alors que \(g) est la fonction réciproque de \(f).
Schématiquement :

\(\begin{matrix}
  D_f & \Large{\overset{f}{\longrightarrow}}&I_f\\
  x & \Large{\mapsto}&y = f(x)\\
  x = g(y)&\Large{\overset{g}{\mapsfrom}}&y
  \end{matrix}
 \left |\begin{matrix}
  = D_g&\Large{\overset{g}{\longrightarrow}}&D_f = I_g\\
  y&\Large{\mapsto}&x = g(y)&\\
  y = f(x)& \Large{\overset{f}{\mapsfrom}}&x
  \end{matrix}
  \right |
  \begin{matrix}&\\&g(f(x)) = x\\&f(g(y)) = y\\&\end{matrix}
\)

En passant de \(f) à \(g), on a en quelque sorte inversé les variables de départ et d'arrivée.
En conséquence, le graphique de \(g) est obtenu à partir de celui de \(f) en inversant les axes.
Et si le repère est orthonormé, la courbe de \(g) est obtenue par symétrie orthogonale de celle de \(f)
par rapport à la droite d'équation \(y=x).

C'est ainsi que l'on peut définir et tracer la courbe de la fonction racine carrée à partir de celle de la fonction carré
définie sur \(\lbrack 0 ; +\infty \lbrack\), et plus généralement celle de la fonction racine \(n)ième à partir de
la fonction puissance \(n) définie sur \(\lbrack 0 ; +\infty \lbrack\).

- \draw{200,200}{\Gr1}
- Courbes des fonctions puissances 2, 3 et 12 et de leurs fonctions réciproques

Théorème

Si une fonction \(f) est définie, continue et strictement croissante sur un intervalle I et si l'ensemble des images
est un intervalle J, alors \(f) admet une fonction réciproque \(g) de J dans I qui est strictement croissante sur J.

L'expression strictement croissante peut être remplacée par strictement décroissante.
Une fonction est croissante si les images sont dans le même ordre que les antécédents
donc sa réciproque est alors aussi croissante.
Elle est décroissante si les images sont dans l'ordre inverse des antécédents, dans ce cas sa réciproque est aussi décroissante.
L'adverbe strictement signifie que deux nombres distincts de l'ensemble de définition I n'ont pas la même image,
ce qui garantit que la fonction admet une fonction réciproque.

Le mot continue signifie précisément que l'image de tout intervalle inclus dans I
est un intervalle, autrement dit, il n'y a pas de "trous" dans l'ensemble des images.
Toutes les fonctions linéaires, affines, trinômes et plus généralement les polynômes sont des fonctions continues
sur chaque intervalle de \(\,\RR). Il en est de même de chaque fonction racine
\(n)ième.
La fonction inverse est définie, continue et strictement décroissante sur
\(\rbrack 0;+\infty\lbrack\) et l'ensemble des images est
\(\rbrack 0 ; +\infty \lbrack\), elle admet donc une fonction réciproque définie de
\(\rbrack 0 ; +\infty\lbrack\)
dans \(\rbrack 0 ; +\infty \lbrack\) ;
c'est la fonction inverse elle-même ! Or pour \(x \ne 0), \(\frac{1}{x} = x^{-1}) ;
on voit que l'on peut enrichir l'ensemble des
puissances rationnelles avec des exposants négatifs à condition de réduire l'ensemble de définition
à \(\rbrack 0 ; +\infty \lbrack\).
Remarquons aussi que la fonction réciproque de \(x \mapsto x^{3/2}) est \(y \mapsto y^{2/3})
car \((x^{3/2})^{2/3} = x) et de façon plus générale, pour deux entiers \(n) et \(d) non nuls,
la fonction réciproque de  \(x \mapsto x^{n/d}) est \(y \mapsto y^{d/n}).
