### Théorème

Soient \(a), \(b) et \(c) trois réels. On suppose \(a) non nul. Soit (E) l'équation du second degré en \(x) :
\(a x^2 + b x + c = 0)
On appelle discriminant de (E) le réel \(\Delta = b^2 - 4a c).

- Si \(\Delta) est strictement négatif, (E) n'a pas de solution.
- Si \(\Delta) est nul, (E) a une solution : \(\alpha= \frac{-b}{2a}).
- Si \(\Delta) est strictement positif, (E) a deux solutions : \(\alpha= \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}) et \(\beta= \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}).

### Démonstration

Comme \(a) n'est pas nul, l'équation (E) est équivalente à (E') :
\(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a} = 0)

En s'inspirant de l'identité remarquable : \((x + u)^2 = x^2 + 2u x + u^2), on écrit :
\(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a} = (x+\frac{b}{2a})^2+\frac{c}{a}-\frac{b^2}{4a^2} = (x+\frac{b}{2a})^2 - \frac{\Delta}{4a^2})

etc ...