Dans le paragraphe précédent, on montre que si \(a \gt) 0, on peut définir une fonction qui
à tout nombre rationnel \(r) associe le nombre réel \(a^r) (qui sera strictement positif).

Si \(a \gt 1\), cette fonction est strictement croissante et si \(a \lt 1\),
elle est strictement décroissante.

Tout nombre réel non rationnel \(x) peut être encadré par des nombres
  décimaux de plus en plus rapprochés
 et dont la différence est aussi petite que l'on veut ;
 l'écart entre les images par cette fonction pourra être aussi rendu aussi petit que l'on veut, ce qui permet
 de définir \(a^x) comme la limite commune des images des bornes inférieures
 et supérieures de \(x)
 lorsque les écarts tendent vers 0.

Par exemple, pour avoir un encadrement suffisamment précis de \(2^\pi),
 il suffit d'avoir un encadrement assez précis de \(\,\pi) :
\(3,14 \lt \pi \lt 3,15 \) donc \(2^{3,14} \lt 2^\pi \lt 2^{3,15}).

La fonction \(x \mapsto 2^x) est ainsi définie de
 \(\RR= \rbrack -\infty ; +\infty\lbrack\) dans \(\rbrack 0 ; +\infty\lbrack\)
 et elle est strictement croissante sur \(\rbrack -\infty ; +\infty\lbrack\).
Il en est de même pour \(x \mapsto \pi^x).

Par contre, la fonction \(x \mapsto 0,5^x) est définie et strictement décroissante
de \(\,\RR) dans \(\rbrack  0 ; +\infty\lbrack\).

