\def{integer a=2*randint(1..5)}
\def{integer b=2*randint(1..5)}
\def{integer c=randint(25..50)}
\def{integer d=\a+\b}
\def{integer L=4*\c-\d}
\def{integer p=\a*\b}
\def{integer S=4*\c}
\def{integer s=2*\c}

On sait que \(x+L+x-\a+L-\b=\L) et on cherche \(x) tel que \(L x -(\b)(\a)) soit maximal.

On exprime \(L) en fonction de \(x) :
\(2 L + 2 x - \d = \L)
\(2 L + 2 x = \S)
\(L + x = \s)
\(L = \s - x)

Puis on substitue \(\s - x) à \(L) dans \(L x -(\b)(\a)) : 
\(L x -(\b)(\a) = (\s - x)(x) - \p = - x^2 + \s x -\p)
Ce trinôme a un maximum sur \(\,\RR) car le coefficient de \(x^2) est négatif.
Pour 0 et \s, le trinôme vaut \(- \p) donc le maximum de ce trinôme est obtenu
pour \(\frac{0+\s}{2}=\c).
Ainsi le maximum est obtenu lorsque \(x=\c) et \(L = \s - x = \s - \c = \c).

