\def{integer a=random(-1,1)*random(2,3,4,5)}
\def{integer b=random(-1,1)*random(2,3,4,5)}
\def{integer c=random(-1,1)*random(2,3,4,5)}
\def{rational x=-\b/(2*\a)}
\def{rational y=\c-\a*(\x)^2}

Soit \(f(x) = \a*x^2 + \b*x + \c)
Le développement de la forme canonique est :
\(a*(x - x_S)^2 + y_S = a*x^2 - 2*a*x_S + a*x_S^2 + y_S)
Pour que \(f(x) = a*(x - x_S)^2 + y_S) pour tout réel \(x) c-à-d que
 \(a*x^2 - 2*a*x_S*x + a*x_S^2 + y_S = \a*x^2 + \b*x + \c) pour tout réel \(x),
il faut et il suffit que :
\(a = \a) et \(- 2*a*x_S = \b) et \(a*x_S^2 + y_S = \c)
\(a = \a) et \(x_S = -\b/(2*a)) et \(y_S = \c - a*x_S^2)
\(a = \a) et \(x_S = \x) et \(y_S = \c - \a*x_S^2)
\(a = \a) et \(x_S = \x) et \(y_S = \c - \a*(\x^2))
\(a = \a) et \(x_S = \x) et \(y_S = \y)
La forme canonique de \(\a*x^2 + \b*x + \c) est \(\a*(x - \x)^2 + \y)
On peut vérifier que \(f(\x) = \a*(\x)^2 + \b*(\x) +\c = \y)
Ainsi \(f(x_S) = y_S).
De plus, si \(a=\a) et \(b=\b), on a \(x_S = -b/(2*a) = -\b/(2*\a) = \x).

