# Полиномы

Данный раздел содержит информацию о том, как создавать и использовать полиномы в Sage.

## Полиномы одной переменной

Есть три способа создания полиномиальных колец.

    sage: R = PolynomialRing(QQ, 't')
    sage: R
    Univariate Polynomial Ring in t over Rational Field

Данный способ создаст полиномиальное кольцо и укажет Sage использовать строку „t“ в качестве неизвестного при выводе на экран. Однако, это не определяет символ `t` для использования в Sage, так что нельзя при помощи него ввести полином (как \(t^2+1\)), принадлежащий `R`.

Другой способ:

    sage: S = QQ['t']
    sage: S == R
    True

Этот способ имеет ту же проблему по отношению к `t`.

Третий способ более удобный

    sage: R.<t> = PolynomialRing(QQ)

или

    sage: R.<t> = QQ['t']

или даже

    sage: R.<t> = QQ[]

Этот способ влечет за собой объявление переменной `t` как неизвестного в полиномиальном кольце так, что ее можно использовать при создании элементов `R`, как описано ниже. (Заметьте, что третий способ похож на обозначение конструктора в Magma, и, как в Magma, он может быть использован для широкого набора объектов.)

    sage: poly = (t+1) * (t+2); poly
    t^2 + 3*t + 2
    sage: poly in R
    True

Какой бы способ ни использовался для задания полиномиального кольца, можно вычленить неизвестное в виде \(0^{th}\) генератора:

    sage: R = PolynomialRing(QQ, 't')
    sage: t = R.0
    sage: t in R
    True

Похожая конструкция используется для комплексных чисел: комплексные числа могут быть рассмотрены как генерированные из вещественных чисел с использованием символа `i`; из этого следует:

    sage: CC
    Complex Field with 53 bits of precision
    sage: CC.0  # 0-ой генератор CC
    1.00000000000000*I

Для полиномиальных колец можно получить и кольцо, и его генератор, или просто генератор во время создания кольца:

    sage: R, t = QQ['t'].objgen()
    sage: t    = QQ['t'].gen()
    sage: R, t = objgen(QQ['t'])
    sage: t    = gen(QQ['t'])

Наконец, можно совершить некоторые арифметические опрерации в \(\QQ[t]\).

    sage: R, t = QQ['t'].objgen()
    sage: f = 2*t^7 + 3*t^2 - 15/19
    sage: f^2
    4*t^14 + 12*t^9 - 60/19*t^7 + 9*t^4 - 90/19*t^2 + 225/361
    sage: cyclo = R.cyclotomic_polynomial(7); cyclo
    t^6 + t^5 + t^4 + t^3 + t^2 + t + 1
    sage: g = 7 * cyclo * t^5 * (t^5 + 10*t + 2)
    sage: g
    7*t^16 + 7*t^15 + 7*t^14 + 7*t^13 + 77*t^12 + 91*t^11 + 91*t^10 + 84*t^9
           + 84*t^8 + 84*t^7 + 84*t^6 + 14*t^5
    sage: F = factor(g); F
    (7) * t^5 * (t^5 + 10*t + 2) * (t^6 + t^5 + t^4 + t^3 + t^2 + t + 1)
    sage: F.unit()
    7
    sage: list(F)
    [(t, 5), (t^5 + 10*t + 2, 1), (t^6 + t^5 + t^4 + t^3 + t^2 + t + 1, 1)]

Деление двух полиномов создаст элемент в дробном поле, что будет сделано Sage автоматически.

    sage: x = QQ['x'].0
    sage: f = x^3 + 1; g = x^2 - 17
    sage: h = f/g;  h
    (x^3 + 1)/(x^2 - 17)
    sage: h.parent()
    Fraction Field of Univariate Polynomial Ring in x over Rational Field

Используя ряды Лорана, можно посчитать разложение в ряд в дробном поле `QQ[x]`:

    sage: R.<x> = LaurentSeriesRing(QQ); R
    Laurent Series Ring in x over Rational Field
    sage: 1/(1-x) + O(x^10)
    1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6 + x^7 + x^8 + x^9 + O(x^10)

Если назвать переменную по-другому, можно получить другое одномерное полиномиальное кольцо.

    sage: R.<x> = PolynomialRing(QQ)
    sage: S.<y> = PolynomialRing(QQ)
    sage: x == y
    False
    sage: R == S
    False
    sage: R(y)
    x
    sage: R(y^2 - 17)
    x^2 - 17

Кольцо определяется переменной. Обратите внимание, что создание ещё одного кольца с переменной `x` не вернет другого кольца.

    sage: R = PolynomialRing(QQ, "x")
    sage: T = PolynomialRing(QQ, "x")
    sage: R == T
    True
    sage: R is T
    True
    sage: R.0 == T.0
    True

Sage поддерживает кольца степенных рядов и рядов Лорана для любого базисного кольца. В следующем примере создадим элемент из \(\GF{7}[[T]]\) и поделим, чтобы создать элемент из \(\GF{7}((T))\).

    sage: R.<T> = PowerSeriesRing(GF(7)); R
    Power Series Ring in T over Finite Field of size 7
    sage: f = T  + 3*T^2 + T^3 + O(T^4)
    sage: f^3
    T^3 + 2*T^4 + 2*T^5 + O(T^6)
    sage: 1/f
    T^-1 + 4 + T + O(T^2)
    sage: parent(1/f)
    Laurent Series Ring in T over Finite Field of size 7

Также можно создавать кольца степенных рядов, используя двойные скобки:

    sage: GF(7)[['T']]
    Power Series Ring in T over Finite Field of size 7

## Полиномы нескольких переменных

Для работы с полиномами с несколькими переменными, сначала надо объявить полиномиальное кольцо и переменные.

    sage: R = PolynomialRing(GF(5),3,"z") # здесь 3 - это число переменных
    sage: R
    Multivariate Polynomial Ring in z0, z1, z2 over Finite Field of size 5

Так же, как и для одномерных полиномов, существует несколько путей:

    sage: GF(5)['z0, z1, z2']
    Multivariate Polynomial Ring in z0, z1, z2 over Finite Field of size 5
    sage: R.<z0,z1,z2> = GF(5)[]; R
    Multivariate Polynomial Ring in z0, z1, z2 over Finite Field of size 5

Чтобы имена переменных состояли из букв, надо использовать следующее:

    sage: PolynomialRing(GF(5), 'x, y, z')
    Multivariate Polynomial Ring in x, y, z over Finite Field of size 5

Немного арифметики:

    sage: z = GF(5)['z0, z1, z2'].gens()
    sage: z
    (z0, z1, z2)
    sage: (z[0]+z[1]+z[2])^2
    z0^2 + 2*z0*z1 + z1^2 + 2*z0*z2 + 2*z1*z2 + z2^2

Можно использовать более математическое обозначение, чтобы построить полиномиальное кольцо.

    sage: R = GF(5)['x,y,z']
    sage: x,y,z = R.gens()
    sage: QQ['x']
    Univariate Polynomial Ring in x over Rational Field
    sage: QQ['x,y'].gens()
    (x, y)
    sage: QQ['x'].objgens()
    (Univariate Polynomial Ring in x over Rational Field, (x,))

Многомерные полиномы внедрены в Sage с использованием словарей Python. Sage использует Singular [Si] для вычислений НОД и базиса Грёбнера идеалов.

    sage: R, (x, y) = PolynomialRing(RationalField(), 'x, y').objgens()
    sage: f = (x^3 + 2*y^2*x)^2
    sage: g = x^2*y^2
    sage: f.gcd(g)
    x^2

Создадим идеал \((f,g)\), генерированный из \(f\) и \(f\) умножением `(f,g)` на `R`.

    sage: I = (f, g)*R; I
    Ideal (x^6 + 4*x^4*y^2 + 4*x^2*y^4, x^2*y^2) of Multivariate Polynomial
    Ring in x, y over Rational Field
    sage: B = I.groebner_basis(); B
    [x^6, x^2*y^2]
    sage: x^2 in I
    False

Кстати, базис Грёбнера является не списком, а неизменяемой последовательностью. Это означает, что у него есть универсум, родитель и что он не может быть изменен (что хорошо, поскольку изменение базиса нарушило бы другие операции, использующие базис Грёбнера).

    sage: B.universe()
    Multivariate Polynomial Ring in x, y over Rational Field
    sage: B[1] = x
    Traceback (most recent call last):
    ...
    ValueError: object is immutable; please change a copy instead.

Некоторая коммутативная алгебра доступна в Sage и внедрена с помощью Singular. К примеру, можно посчитать примарное разложение и простые соответствующие для \(I\):

    sage: I.primary_decomposition()
    [Ideal (x^2) of Multivariate Polynomial Ring in x, y over Rational Field,
     Ideal (y^2, x^6) of Multivariate Polynomial Ring in x, y over Rational Field]
    sage: I.associated_primes()
    [Ideal (x) of Multivariate Polynomial Ring in x, y over Rational Field,
     Ideal (y, x) of Multivariate Polynomial Ring in x, y over Rational Field]