\documentclass{article}
\usepackage{iftex}
\usepackage{ifthen}
\usepackage{epsfig}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{xcolor}
\color{white}
\pagecolor{black}
% Packages requested by user
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}

\ifPDFTeX
\usepackage{newunicodechar}
  \makeatletter
    \def\doxynewunicodechar#1#2{%
    \@tempswafalse
    \edef\nuc@tempa{\detokenize{#1}}%
    \if\relax\nuc@tempa\relax
      \nuc@emptyargerr
    \else
      \edef\@tempb{\expandafter\@car\nuc@tempa\@nil}%
      \nuc@check
      \if@tempswa
        \@namedef{u8:\nuc@tempa}{#2}%
      \fi
    \fi
  }
  \makeatother
  \doxynewunicodechar{⁻}{${}^{-}$}% Superscript minus
  \doxynewunicodechar{²}{${}^{2}$}% Superscript two
  \doxynewunicodechar{³}{${}^{3}$}% Superscript three

\fi
\pagestyle{empty}
\begin{document}
$G=(V,A)$
\pagebreak

$cap: A\rightarrow\mathbf{R}^+_0$
\pagebreak

$s, t \in V$
\pagebreak

$f: A\rightarrow\mathbf{R}^+_0$
\pagebreak

\[ \max\sum_{sv\in A} f(sv) - \sum_{vs\in A} f(vs) \]
\pagebreak

\[ \sum_{uv\in A} f(uv) = \sum_{vu\in A} f(vu)
    \quad \forall u\in V\setminus\{s,t\} \]
\pagebreak

\[ 0 \leq f(uv) \leq cap(uv) \quad \forall uv\in A \]
\pagebreak

$X$
\pagebreak

\[ \min_{X \subset V, X\not\in \{\emptyset, V\}}
    \sum_{uv\in A: u\in X, v\not\in X}cap(uv) \]
\pagebreak

$\epsilon$
\pagebreak

$lower: A\rightarrow\mathbf{R}$
\pagebreak

$upper: A\rightarrow\mathbf{R}\cup\{+\infty\}$
\pagebreak

$lower(uv) \leq upper(uv)$
\pagebreak

$uv\in A$
\pagebreak

$cost: A\rightarrow\mathbf{R}$
\pagebreak

$sup: V\rightarrow\mathbf{R}$
\pagebreak

$sup(u)>0$
\pagebreak

$u$
\pagebreak

$sup(u)$
\pagebreak

$sup(u)<0$
\pagebreak

$-sup(u)$
\pagebreak

$f: A\rightarrow\mathbf{R}$
\pagebreak

\[ \min\sum_{uv\in A} f(uv) \cdot cost(uv) \]
\pagebreak

\[ \sum_{uv\in A} f(uv) - \sum_{vu\in A} f(vu) \geq
    sup(u) \quad \forall u\in V \]
\pagebreak

\[ lower(uv) \leq f(uv) \leq upper(uv) \quad \forall uv\in A \]
\pagebreak

$\sum_{u\in V} sup(u)$
\pagebreak

$\pi: V\rightarrow\mathbf{R}$
\pagebreak

$cost^\pi(uv)>0$
\pagebreak

$f(uv)=lower(uv)$
\pagebreak

$lower(uv)<f(uv)<upper(uv)$
\pagebreak

$cost^\pi(uv)=0$
\pagebreak

$cost^\pi(uv)<0$
\pagebreak

$f(uv)=upper(uv)$
\pagebreak

$u\in V$
\pagebreak

$\pi(u)\leq 0$
\pagebreak

$\sum_{uv\in A} f(uv) - \sum_{vu\in A} f(vu) \neq sup(u)$
\pagebreak

$\pi(u)=0$
\pagebreak

$cost^\pi(uv)$
\pagebreak

$\pi$
\pagebreak

\[ cost^\pi(uv) = cost(uv) + \pi(u) - \pi(v).\]
\pagebreak

\[ \sum_{uv\in A} f(uv) - \sum_{vu\in A} f(vu) =
    sup(u) \quad \forall u\in V \]
\pagebreak

\[ \sum_{uv\in A} f(uv) - \sum_{vu\in A} f(vu) \leq
    sup(u) \quad \forall u\in V \]
\pagebreak

$\pi(u)\geq 0$
\pagebreak

$ G=(V, A) $
\pagebreak

$ F $
\pagebreak

$ flow, cap: A\to F $
\pagebreak

$ V $
\pagebreak

$ A_{forward}\cup A_{backward} $
\pagebreak

$ A_{forward}=\{uv : uv\in A, flow(uv)<cap(uv)\} $
\pagebreak

$ A_{backward}=\{vu : uv\in A, flow(uv)>0\} $
\pagebreak

$ |A_{forward}| + |A_{backward}|$
\pagebreak

$ u $
\pagebreak

$ u_{in} $
\pagebreak

$ u_{out} $
\pagebreak

$ (v, u) $
\pagebreak

$ (u, v) $
\pagebreak

$O(m\log U (n+m)\log n)$
\pagebreak

$upper: A\rightarrow\mathbf{R}\cup\{\infty\}$
\pagebreak

\[ \sum_{uv\in A} f(uv) - \sum_{vu\in A} f(vu)
\geq sup(u) \quad \forall u\in V, \]
\pagebreak

\[ lower(uv) \leq f(uv) \leq upper(uv) \quad \forall uv\in A. \]
\pagebreak

\[ \sum_{uv\in A: u\in B} upper(uv) -
    \sum_{uv\in A: v\in B} lower(uv) < \sum_{v\in B} sup(v) \]
\pagebreak

$O(n^2m\log(nK))$
\pagebreak

$O(n^2 m^2 \log n)$
\pagebreak

$O(n^2 m^3 \log n)$
\pagebreak

$ O(nm^2) $
\pagebreak

\[ \sum_{e \in \delta(u)}x_e \le 1 \quad \forall u\in V\]
\pagebreak

\[x_e \ge 0\quad \forall e\in E\]
\pagebreak

\[\max \sum_{e\in E}x_e\]
\pagebreak

$\delta(X)$
\pagebreak

$O(nm\log n)$
\pagebreak

\[\max \sum_{e\in E}x_ew_e\]
\pagebreak

\[ y_u + y_v \ge w_{uv} \quad \forall uv\in E\]
\pagebreak

\[y_u \ge 0 \quad \forall u \in V\]
\pagebreak

\[\min \sum_{u \in V}y_u \]
\pagebreak

\[ \sum_{e \in \delta(u)}x_e = 1 \quad \forall u\in V\]
\pagebreak

$O(n^3\sqrt{m})$
\pagebreak

$D=(V,A)$
\pagebreak

$ source \in V $
\pagebreak

$ source $
\pagebreak

$ X\subsetneq V $
\pagebreak

$ source \in X $
\pagebreak

$ source \notin X $
\pagebreak

$ D $
\pagebreak

$ O(n^2\sqrt{m}) $
\pagebreak

$O(nm)$
\pagebreak

$ O(nm + n^2 \log n) $
\pagebreak

$ X $
\pagebreak

\[ \sum_{e \in \gamma(B)}x_e \le \frac{\vert B \vert - 1}{2}
\quad \forall B\in\mathcal{O}\]
\pagebreak

$\gamma(X)$
\pagebreak

$\mathcal{O}$
\pagebreak

\[ y_u + y_v + \sum_{B \in \mathcal{O}, uv \in \gamma(B)}
z_B \ge w_{uv} \quad \forall uv\in E\]
\pagebreak

\[z_B \ge 0 \quad \forall B \in \mathcal{O}\]
\pagebreak

\[\min \sum_{u \in V}y_u + \sum_{B \in \mathcal{O}}
\frac{\vert B \vert - 1}{2}z_B\]
\pagebreak

\[ y_u + y_v + \sum_{B \in \mathcal{O}, uv \in \gamma(B)}z_B \ge
w_{uv} \quad \forall uv\in E\]
\pagebreak

$ O(nm\log(n)) $
\pagebreak

$ O(nm+n^2\log(n)) $
\pagebreak

$ O(nm) $
\pagebreak

$O(n^2\sqrt{m})$
\pagebreak

$ 2^{19937} - 1 $
\pagebreak

\[ \frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!} \]
\pagebreak

\end{document}
