Юрій Чорноіван
yurchor@ukr.net 2024

# Апроксимація кривою

Апроксимація кривої дозволяє виконувати потужний аналіз імпортованих наборів даних шляхом знаходження параметрів математичної моделі, яка найкраще описує дані. На цій сторінці розглянуто такі теми:

Апроксимація даних: налаштовування і виконання апроксимації.

Обмеження: обмеження параметрів апроксимації.

Результати: інтерпретація результатів.

Різниці: вивчення якості апроксимації.

Алгоритми апроксимації: вибір належного алгоритму для ваших даних.

# Апроксимація даних

Щоб розпочати апроксимацію набору даних кривою, натисніть три вертикальні крапки на елементі, який слід наблизити, і виберіть Апроксимація кривою. У відповідь буде відкрито вікно «Апроксимація кривою». Апроксимацію і її довірчу смугу можна переглядати інтерактивно при коригуванні параметрів.

Рівняння для апроксимації можна вибрати зі спадного списку. Доступні такі попередньо визначені рівняння, формулу для яких показано як підзаголовок:

## Лінійна

`a·x + b`

## Квадратична

`a·x² + b·x + c`

## Показникова

`a·exp(b·x)`

## Степенева

`a·x^b`

## Логарифмічна

`a·log(x) + b`

## Логістична сигмоїда

`L / (1 + exp(-k·(x - b)))`

## Гаусова

`a·exp(-(x - μ)² / (2·σ²))`

## Нетипова

Введіть будь-яке рівняння, використовуючи `x` як незалежну змінну. Будь-які інші назви змінних, які не є функціями (наприклад, sin(x) або exp(x)), автоматично виявляються та обробляються як вільні параметри для апроксимації.

Щойно буде знайдено задовільне наближення, натисніть Додати апроксимацію даних, щоб додати отриману криву як нове рівняння в проєкті, підставивши у вираз визначені значення параметрів.

# Обмеження

Кожен вільний параметр, виявлений у рівнянні, буде показано на бічній панелі з трьома полями: початкове припущення, мінімальна межа та максимальна межа. Початкове припущення – це початкове значення, яке використовується алгоритмом. Використання якісного початкового припущення, близького до очікуваного значення, допоможе апроксимації збігтися. Межі обмежують діапазон значень, які може приймати параметр.

Типовими значеннями полів меж є `-inf` та `inf`, тобто обмеження не застосовуються. Щоб обмежити параметр, введіть потрібні мінімальне та максимальне значення.

Зверніть увагу, що поля меж буде показано лише тоді, коли вибрано алгоритм, у якому передбачено їхню підтримку. Якщо використано алгоритм Левенберга-Марквардта межі буде приховано, оскільки у цьому алгоритмі їхньої підтримки не передбачено. Див. , щоб дізнатися більше.

# Результати

Після успішного визначення параметрів апроксимації панель результатів показуватиме два розділи: «Параметри» та «Статистика».

У розділі «Параметри» буде показано кожен підібраний параметр з його значенням. Якщо вибрано довірчий рівень, відмінний від «Немає», поруч із кожним значенням буде показано поле у ​​формі `± похибка`, де похибка — це стандартне відхилення цього параметра, помножене на вибраний довірчий коефіцієнт. Отже, для рівня довіри 1σ похибка дорівнює стандартному відхиленню, а для 2σ та 3σ похибка дорівнює відповідно подвоєному та потрійному стандартному відхиленню. Довірчий рівень можна встановити з головного меню:

Немає: без показу полів.

1σ: довірчий інтервал 68%

2σ: довірчий інтервал 95%

3σ: довірчий інтервал 99.7%

Крім того, відповідну довірчу смугу буде зображено як затінену область навколо апроксимованої кривої.

У розділі «Статистика» буде показано два показники відповідності: R² та КСКП.

Для лінійної апроксимації R² вимірює, як саме модель може пояснити всю варіацію. Значення 1 означає, що модель ідеально пояснює всі варіації, тоді як значення 0 означає, що вона не пояснює жодної. Зауважте, що для нелінійної апроксимації R² втрачає своє фізичне значення, яке показує, яку частку дисперсії враховано. Він все ще може бути певною мірою корисним для оцінки ступеню відповідності, але саме значення стає дещо довільним.

Корінь із середньоквадратичної похибки (КСКП) вимірює типовий розмір лишків (різниць між точками даних та апроксимованою кривою) у тих самих одиницях, що й дані Y. На відміну від R², КСКП дає абсолютне уявлення про те, наскільки в середньому відхиляються від прогнозів, що робить його корисним, коли має значення фізична величина помилки.

Зверніть увагу, що обидві статистики дані вказують лише на те, наскільки добре дані узгоджуються з обраною моделлю, а не те, чи є модель фізично коректною. Такі фактори, як систематичні похибки вимірювання та кореляції між параметрами, не враховуються. Це є неодмінним обмеженням апроксимації кривої та поширеним джерелом оманливих оцінок невизначеності навіть в опублікованих наукових роботах.

# Лишки

Графік лишків можна переглянути, позначивши пункт Показати лишки в головному меню. У результаті буде показано другий графік під головним, який показуватиме різницю між кожною точкою даних та апроксимованою кривою для цього значення x. Для порівняння буде показано нульову пунктирну лінію.

У якісному наближенні лишки будуть випадково розкидані навколо нуля без видимої закономірності. Систематична закономірність у лишках, така як крива або тренд, свідчить про те, що для даних вибрано невідповідну модель.

# Повідомлення про помилки

Якщо апроксимацію не можна виконати, на панелі результатів замість значень параметрів буде показано повідомлення про помилку. Можуть статися такі помилки:

## Некоректне рівняння

У рівнянні міститься синтаксична помилка або використано непідтримувані змінні. Перевірте, чи коректно записано вираз.

## Помилка обмеження

Початкове припущення не лежить у заданих межах, або мінімальна межа не менша за максимальну. Переконайтеся, що для кожного параметра межі розташовано таким чином: Нижня межа < Початкове припущення < Верхня межа.

## Помилка домену

Рівняння не є коректним у діапазоні даних, наприклад, через логарифм від'ємного числа або ділення на нуль.

## Помилка апроксимації: перевищено максимальну кількість ітерацій

Алгоритм не показав збіжності у межах дозволеної кількості ітерацій. Спробуйте скоригувати початкові припущення, щоб вони були ближчими до очікуваних значень, або виберіть інший алгоритм.

## Помилка у матриці

Для вибраної моделі недостатньо даних. Це може статися, наприклад, коли точок даних менше, ніж вільних параметрів, або якщо дані недостатньо добре обмежують модель для визначення однозначного розв'язку.

## Похибка довірчої смуги

Коваріаційна матриця нестабільна, тому довірчу смугу неможливо обчислити надійно.

# Алгоритми апроксимації

Доступні три алгоритми апроксимації, які можна вибрати в головному меню у розділі Метод оптимізації:

## Левенберга-Марквардта

Широко використовуваний алгоритм, який ефективно працює для більшості задач. Підтримки обмеження параметрів не передбачено — поля мінімуму та максимуму буде приховано, коли вибрано цей метод.

## Відбита довірча область

Добре справляється з межами та надійно працює в широкому спектрі задач. Добрий типовий варіант для більшості випадків використання.

## Конура

Використовує прямокутні довірчі області та добре підходить для менших задач, де потрібні межі.