Kevin / Archer_M-I-A
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# Ajustement de courbe

L’ajustement de courbe est une puissante méthode d’analyse des jeux de données importés, en trouvant les paramètres d’un modèle mathématique qui décrit le mieux les données. Les sujets suivants sont couverts dans cette page :

Données d’ajustement: paramétrage et exécution d’un ajustement.

Limites: mise sous contrainte des paramètres d’ajustement.

Résultats: interprétation des résultats.

Résidus: inspection de la qualité de l’ajustement.

Algorithmes d’ajustement: choix de l’algorithme approprié pour vos données.

# Données d’ajustement

Pour initier l’ajustement de courbe sur un jeu de données, appuyez sur les 3 points verticaux pour l’élément sur lequel vous souhaitez réaliser un ajustement, et choisissez Ajustement de courbe. Ceci fait apparaître la boîte de dialogue pour l’ajustement de courbe. Un aperçu de l’ajustement et de son intervalle de confiance est actualisé au fur et à mesure que les paramètres sont ajustés.

Une équation utilisée pour un ajustement est choisie à partir de la liste déroulante. Les équations prédéfinies suivantes sont disponibles, avec leur formule affichée en tant que sous-titre :

## Linéaire

`a·x + b`

## Quadratique

`a·x² + b·x + c`

## Exponentielle

`a·exp(b·x)`

## Loi de puissance

`a·x^b`

## Logarithmique

`a·log(x) + b`

## Sigmoïde logistique

`L / (1 + exp(-k·(x - b)))`

## Gaussienne

`a·exp(-(x - μ)² / (2·σ²))`

## Personnalisée

Entrez l’équation de votre choix en utilisant `x` en tant que variable indépendante. Tout autre nom de variable qui n’est pas une fonction (comme sin(x) ou exp(x)) est détecté automatiquement et traité comme un paramètre libre à ajuster.

Une fois qu’un ajustement satisfaisant a été trouvé, appuyez sur Ajouter un ajustement aux données pour ajouter la courbe résultante en tant que nouvelle équation dans le projet, avec l’intégration des valeurs des paramètres ajustés dans l’expression.

# Limites

Chaque paramètre libre détecté dans l’équation est montré dans la barre latérale avec trois champs : une estimation initiale, une limite minimale et une limite maximale. L’estimation initiale est la valeur de départ utilisée par l’algorithme. L’utilisation d’une bonne estimation initiale proche de la valeur attendue aide l’ajustement à converger. Les limites restreignent la plage des valeurs autorisées pour le paramètre.

Les champs des limites sont définis par défaut sur `-inf` et `inf`, ce qui signifie qu’aucune contrainte n’est appliquée. Pour restreindre un paramètre, indiquez les valeurs minimales et maximales souhaitées.

Veuillez noter que les champs des limites sont affichés uniquement lorsqu’un algorithme qui les gère est sélectionné. Quand vous utilisez l’algorithme de Levenberg-Marquardt, les limites sont masquées puisque l’algorithme ne les gère pas. Référez-vous à pour plus de détails.

# Résultats

Après un ajustement réussi, le panneau des résultats affiche deux sections : Paramètres et Statistiques.

La section Paramètres liste chaque paramètre ajusté avec sa valeur. Si un seuil de confiance différent de la valeur Aucun est sélectionné, une marge est affichée à côté de chaque valeur sous la forme `± erreur`, où l’erreur correspond à l’écart-type de ce paramètre multiplié par le facteur de confiance sélectionné. Donc pour un seuil de confiance égal à 1σ, l’erreur est égale à l’écart-type, et pour les valeurs 2σ et 3σ l’erreur est égale respectivement au double et au triple de l’écart-type. Le seuil de confiance peut être défini à partir du menu principal :

Aucune : aucune marge n’est affichée.

1σ : confiance de 68%

2σ : confiance de 95%

3σ : confiance de 99.7%

L’intervalle de confiance correspondant est également représenté sous la forme d’une région ombrée autour de la courbe ajustée.

La section Statistiques affiche deux mesures sur la qualité de l’ajustement : le R² et le RMSE.

Pour une régression linéaire, le R² mesure la proportion de la variation qui peut être expliquée par le modèle. Une valeur égale à 1 signifie que le modèle explique toute variation parfaitement, tandis qu’une valeur de 0 signifie qu’il n’en explique aucune. Veuillez noter que pour les régressions non linéaires, le R² perd toute signification physique sur la proportion de la variance qui peut être expliquée. Il peut toujours être quelque peu utile pour évaluer la qualité de l’ajustement, mais la valeur en elle-même devient assez arbitraire.

Le RMSE (Root Mean Square Error, ou racine de l’erreur quadratique moyenne) mesure la taille standard des résidus (les différences entre les points de données et la courbe ajustée) dans les mêmes unités que les données en Y. A l’inverse du R², le RMSE qualifie de manière absolue l’écart des prédictions en moyenne, ce qui est utile lorsque l’ordre de grandeur physique de l’erreur a une importance.

Veuillez noter que ces deux statistiques illustrent seulement à quel point les données s’accordent avec le modèle choisi, mais n’indiquent pas si ce modèle est physiquement correct. Des facteurs tels que les erreurs de mesure systématiques et les corrélations entre paramètres ne sont pas pris en compte. Il s’agit d’une limite inhérente à l’ajustement de courbe, et une source fréquente d’erreurs dans les estimations d’incertitude, y compris dans des publications de rapports scientifiques.

# Résidus

La représentation graphique des résidus peut être affichée en activant Afficher les résidus depuis le menu principal. Ceci fait apparaître un second graphique en dessous du principal en affichant l’écart entre chaque point de donnée et la courbe ajustée sur cette valeur en x. Une ligne pointillée en zéro est affichée en tant que référence.

Un bon ajustement montre des résidus éparpillés de manière aléatoire autour de zéro sans motifs visibles. Un motif systématique dans les résidus, telle qu’une courbe ou une tendance, indique que le modèle choisi n’est peut-être pas approprié pour les données en question.

# Messages d’erreur

Si l’ajustement ne peut être achevé, un message d’erreur s’affiche dans le panneau des résultats à la place des valeurs du paramètre. Les erreurs suivantes peuvent survenir :

## Équation incorrecte

L’équation contient une erreur de syntaxe ou utilise des variables non prises en charge. Vérifiez que l’expression est valide.

## Erreur de contrainte

L’estimation initiale ne se situe pas dans les limites spécifiées, ou la limite minimale n’est pas inférieure à la limite maximale. Assurez-vous de respecter Inférieure < Initiale < Supérieure pour chaque paramètre.

## Erreur de domaine

L’équation n’est pas valide sur la place de données, par exemple en raison d’un logarithme appliqué à un nombre négatif ou d’une division par zéro.

## Échec de l’ajustement : le nombre maximal d’itérations a été atteint

L’algorithme n’a pas convergé dans la limite du nombre d’itérations autorisé. Essayez d’ajuster les estimations initiales pour être plus proche des valeurs attendues, ou alors choisissez un algorithme différent.

## Erreur de matrice

Les données sont insuffisantes pour le modèle choisi. Par exemple, ceci peut arriver lorsqu’il y a moins de points de données que de paramètres libres, ou alors si les données ne restreignent pas le modèle suffisamment pour déterminer une solution unique.

## Erreur de l’intervalle de confiance

La matrice de covariance est instable, donc l’intervalle de confiance ne peut être calculé de manière fiable.

# Algorithmes d’ajustement

Trois algorithmes d’ajustement sont disponibles, sélectionnables depuis le menu principal sous Méthode d’optimisation:

## Levenberg-Marquardt

Un algorithme largement utilisé qui fonctionne de manière efficace sur la plupart des problèmes. Il ne prend pas en charge les limites de paramètre, les champs minimum et maximum sont masqués lorsque cette méthode est sélectionnée.

## Région de confiance

Un algorithme qui gère bien les limites et fonctionne de manière fiable sur un large ensemble de problèmes. Un choix par défaut approprié pour la plupart des cas d’utilisation.

## Dogbox

Un algorithme qui utilise des régions de confiance rectangulaires et qui est approprié pour des problèmes plus petits dans lesquels des limites sont obligatoires.