### 1.46.9 Προσαρτημένος πίνακας : adjoint_matrix

adjoint_matrix παίρνει ως όρισμα έναν τετραγωνικό πίνακα A μεγέθους n.
adjoint_matrix επιστρέφει την λίστα των συντελεστών του P (χαρακτηριστικό πολυώνυμο του A), και μία λίστα πινάκων που είναι οι συντελεστές του (γενικού) προσαρτημένου πίνακα μεγέθους n, δηλαδή του πολυωνύμου Q(x) = I× xn−1+⋯+B0 βαθμού n−1. Προσοχή! Το Xcas επιστρέφει την απόλυτη τιμή του Q(x). O προσαρτημένος πινακας του A είναι (−1)n−1Q(x) και επομένως, ο απλός προσαρτημένος πινακας του A είναι (−1)n−1B0 = (−1)n−1Q(0).

Ο απλός προσαρτημένος πινακας ενός τετραγωνικού πίνακα A μεγέθους n είναι ο πίνακας B μεγέθους n του οποίου το στοιχείο στην θέση (i,j) είναι (−1)i+j επί την ορίζουσα του πίνακα που προκύπτει από τον A αν διαγράψουμε την σειρά j και την στήλη i (προσέξτε την αναστροφή!). Ο (γενικός) προσαρτημένος πίνακας του A είναι ο απλός προσαρτημένος πινακας του xI−A. Ισχύει

A×B=B×A= det(A)×I

καθώς επίσης και :

P(x)×I=det(xI−A)I=(xI−A)Q(x)

Εφόσον το πολυώνυμο P(x)× I−P(A) μπορεί επίσης να διαιρεθεί από x× I−A (από αλγεβρικές ταυτότητες), αυτό αποδεικνύει ότι P(A)=0.
Είσοδος :

adjoint_matrix([[4,1,-2],[1,2,-1],[2,1,0]])

Έξοδος :

[ [1,-6,12,-8],
[ [[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]], [[-2,1,-2], [1,-4,-1],[2,1,-6]], [[1,-2,3],[-2,4,2],[-3,-2,7]] ] ]

Επομένως, το χαρακτηριστικό πολυώνυμο P είναι :

P(x)=x3−6*x2+12*x−8

Η ορίζουσα του A ισούται με −P(0)=8. Ο απλός προσαρτημένος πίνακας του A ισούται με :

B=Q(0)=[[1,−2,3],[−2,4,2],[−3,−2,7]]

Επομένως, ο αντίστροφος του A ισούται με :

1/8*[[1,−2,3],[−2,4,2],[−3,−2,7]]

Ο γενικός προσαρτημένος πίνακας του A είναι :

[[x2−2x+1,x−2,−2x+3],[x−2,x2−4x+4,−x+2],[2x−3,x−2,x2−6x+7]]

Είσοδος :

adjoint_matrix([[4,1],[1,2]])

Έξοδος :

[[1,-6,7],[[[1,0],[0,1]],[[-2,1],[1,-4]]]]

Επομένως, το χαρακτηριστικό πολυώνυμο P είναι :

P(x)=x2−6*x+7

Η ορίζουσα του A ισούται με +P(0)=7. Ο απλός προσαρτημένος πίνακας του A ισούται με

Q(0)= −[[−2,1],[1,−4]]

Επομένως, ο αντίστροφος του A ισούται με :

−1/7*[[−2,1],[1,−4]]

Ο γενικός προσαρτημένος πίνακας του A είναι :

−[[x−2,1],[1,x−4]]