### 1.19.1 Όρια : limit

limit υπολογίζει το όριο μιας παράστασης σε ένα πεπερασμένο σημείο ή στο άπειρο. Είναι επίσης πιθανό με προαιρετικό όρισμα να υπολογίσετε ένα μονοκατευθυντικό όριο (1 για όριο από δεξιά και -1 για όριο από αριστερά ).
limit παίρνει τρία ή τέσσερα ορίσματα:
μια παράσταση, το όνομα μιας μεταβλητής (για παράδειγμα x), το οριακό σημείο (για παράδειγμα a) και ένα προαιρετικό όρισμα, από προεπιλογή 0, για να υποδείξει αν το όριο είναι μονοκατευθυντικό. Αυτό το όρισμα ισούται με -1 για όριο από αριστερά ( x<a) ή ισούται με 1 για όριο από δεξιά ( x>a) ή ισούται με 0 για ένα όριο.
limit επιστρέφει το όριο της παράστασης όταν η μεταβλητή (για παράδειγμα x) πλησιάζει το οριακό σημείο (για παράδειγμα a).
Σχόλιο
Είναι επιπλέον δυνατόν να βάλουμε το x=a ως όρισμα αντί των x,a. Επομένως : limit παίρνει επίσης ως ορίσματα μια παράσταση που εξαρτάται από μια μεταβλητή, μια ισότητα (μεταβλητή = τιμή του οριακού σημείου ) και ίσως 1 ή -1 για να υποδείξει την κατεύθυνση.
Είσοδος :

limit(1/x,x,0,-1)

ή

limit(1/x,x=0,-1)

Έξοδος :

-(infinity)

Είσοδος :

limit(1/x,x,0,1)

ή

limit(1/x,x=0,1)

Έξοδος :

+(infinity)

Είσοδος :

limit(1/x,x,0,0)

ή

limit(1/x,x,0)

ή

limit(1/x,x=0)

Έξοδος :

infinity

Επομένως, abs(1/x) πλησιάζει +∞ όταν το x πλησιάζει 0.

Ασκήσεις :

- Για n>2, και όταν το x πλησιάζει το 0 βρείτε το όριο της παράστασης :

  ntan(x)−tan(nx)
  sin(nx)−nsin(x)

  Είσοδος :
  limit((n*tan(x)-tan(n*x))/(sin(n*x)-n*sin(x)),x=0)
  Έξοδος :
  2
- Βρείτε το όριο όταν το x πλησιάζει το +∞ :

  √

  x+

  √

  x+

  √

  x

  −

  √

  x

  Είσοδος :
  limit(sqrt(x+sqrt(x+sqrt(x)))-sqrt(x),x=+infinity)
  Έξοδος :
  1/2
- Βρείτε το όριο όταν το x πλησιάζει το 0 :

  √

  1+x+x2/2

  −exp(x/2)

  (1−cos(x))sin(x)

  Είσοδος :
  limit((sqrt(1+x+x`^`2/2)-exp(x/2))/((1-cos(x))*sin(x)),x,0)
  Έξοδος :
  -1/6

Σχόλιο
Για τον υπολογισμό του ορίου, είναι καλύτερο μερικές φορές να αναφέρουμε το πρώτο όρισμα.
Είσοδος :

limit(′(2*x-1)*exp(1/(x-1))′,x=+infinity)

Να σημειωθεί πως το πρώτο όρισμα αναφέρεται, γιατί είναι προτιμότερο αυτό το όρισμα να μην απλοποιείται (δηλαδή να μην αποτιμάται).
Έξοδος :

+(infinity)