### 1.33.3 Ανάπτυγμα σε σειρά : series

series παίρνει από 1 μέχρι 4 ορίσματα :

- μια παράσταση που εξαρτάται από μια μεταβλητή (από προεπιλογή x),
- μια ισότητα variable=value (π.χ. x=a) για τον υπολογισμό του αναπτύγματος σε σειρά, από προεπιλογή x=0,
- έναν ακέραιο n, την τάξη του αναπτύγματος σε σειρά, από προεπιλογή 5,
- μια κατεύθυνσση -1, 1 (για ανάπτυγμα σε σειρά χωρίς κατεύθυνση) ή 0 (για ανάπτυγμα σε σειρά με 2 κατευθύνσεις) (από προεπιλογή 0).

Σημειώσατε ότι η σύνταξη …,x,n,a,... (αντί για …,x=a,n,...) είναι επίσης αποδεκτή.
series επιστρέφει το πολυώνυμο στο x-a, συν ένα υπόλοιπο της μορφής:

(x-a)`^`n*order_size(x-a)

όπου order_size είναι μια συνάρτηση τέτοια ώστε,

∀r>0,

lim
x→ 0

xr order_size(x) = 0

Η τάξη που επιστρέφεται από την series μπορεί να είναι μικρότερη από n εάν γίνονται απαλοιφές μεταξύ αριθμητών και παρονομαστών, για παράδειγμα

Παραδείγατα :

- ανάπτυγμα σε σειρά στην περιοχή του x=0
  Βρείτε το ανάπτυγμα σε σειρά της παράστασης x3+sin(x)3/x−sin(x) στην περιοχή του x=0.
  Είσοδος :
  series(x`^`3+sin(x)`^`3/(x-sin(x)))
  Έξοδος είναι ανάπτυγμα μόνο 2ης τάξης :
  6+-27/10*x`^2`+x`^`3*order_size(x)
  Έχουμε χάσει 3 τάξεις γιατί ο μικρότερος βαθμός του αριθμητή και του παρονομαστή είναι 3. Για να πάρουμε ανάπτυγμα 4ης τάξης, πρέπει να ζητήσουμε n=7, εισάγοντας:
  series(x`^`3+sin(x)`^`3/(x-sin(x)),x=0,7)
  ή:
  series(x`^`3+sin(x)`^`3/(x-sin(x)),x,0,7)
  Έξοδος είναι ανάπτυγμα 4ης τάξης :
  6+-27/10*x`^`2+x`^`3+711/1400*x`^`4+ x`^`5*order_size(x)
- ανάπτυγμα σε σειρά στην περιοχή του x=a
  Βρείτε το ανάπτυγμα σε σειρά 4ης τάξης της cos(2x)2 στην περιοχή του x=π/6.
  Είσοδος:
  series(cos(2*x)`^`2,x=pi/6, 4)
  Έξοδος :
  1/4+(-(4*sqrt(3)))/4*(x-pi/6)+(4*3-4)/4*(x-pi/6)`^`2+ 32*sqrt(3)/3/4*(x-pi/6)`^`3+(-16*3+16)/3/4*(x-pi/6)`^`4+ (x-pi/6)`^`5*order_size(x-pi/6)
- ανάπτυγμα σε σειρά στην περιοχή του x=+∞ ή x=-∞
  1. Βρείτε το ανάπτυγμα σε σειρά 5ης τάξης της arctan(x) στην περιοχή του x=+∞.
     Είσοδος :
     series(atan(x),x=+infinity,5)
     Έξοδος :
     pi/2-1/x+1/3*(1/x)`^`3+1/-5*(1/x)`^`5+ (1/x)`^`6*order_size(1/x)
     Σημειώστε ότι η μεταβλητή του αναπτύγματος και το όρισμα της συνάρτησης order_size είναι h=1/x →x→ + ∞ 0 .
  2. Βρείτε το ανάπτυγμα σε σειρά 2ης τάξης της παράστασης (2x−1)e1/x−1 στην περιοχή του x=+∞.
     Είσοδος :
     series((2*x-1)*exp(1/(x-1)),x=+infinity,3)
     Έξοδος είναι ανάπτυγμα 1ης τάξης:
     2*x+1+2/x+(1/x)`^`2*order_size(1/x)
     Για να πάρουμε ανάπτυγμα 2ης τάξης 1/x, εισάγουμε :
     series((2*x-1)*exp(1/(x-1)),x=+infinity,4)
     Έξοδος :
     2*x+1+2/x+17/6*(1/x)`^`2+(1/x)`^`3*order_size(1/x)
  3. Βρείτε το ανάπτυγμα σε σειρά 2ης τάξης της παράστασης (2x−1)e1/x−1) στην περιοχή του x=-∞.
     Είσοδος :
     series((2*x-1)*exp(1/(x-1)),x=-infinity,4)
     Έξοδος:
     -2*(-x)+1-2*(-1/x)+17/6*(-1/x)`^`2+
     (-1/x)`^`3*order_size(-1/x)
- ανάπτυγμα σε σειρά με μονή κατεύθυνση
  Η τέταρτη παράμετρος υποδεικνύει την κατεύθυνση :
  - 1 για ανάπτυγμα σε σειρά στην περιοχή του x=a με x>a,
  - -1 για ανάπτυγμα σε σειρά στην περιοχή του x=a με x<a,
  - 0 για ανάπτυγμα σε σειρά στην περιοχή του x=a με x ≠ a.
  Για παράδειγμα, βρείτε το ανάπτυγμα σε σειρά 2ης τάξης της παράστασης (1+x)1/x/x3 στην περιοχή του x=0+.
  Είσοδος :
  series((1+x)`^`(1/x)/x`^`3,x=0,2,1)
  Έξοδος :
  exp(1)/x`^`3+(-(exp(1)))/2/x`^`2+1/x*order_size(x)