### 1.6.11 Ακέραιο Ευκλείδειο υπόλοιπο : irem remain smod mods mod %

irem (ή remain) επιστρέφει το ακέραιο υπόλοιπο r της Ευκλείδειας διαίρεσης δύο ακεραίων a και b που δίνονται ώς ορίσματα. (a=b*q+r με 0≤ r< b).
Για Gaussian ακεραίους, επιλέγουμε το q ώστε b*q να είναι τόσο κοντά στο a όσο είναι αυτό δυνατό και μπορεί να αποδειχθεί ότι το r μπορεί να επιλεγεί έτσι ώστε |r|2 ≤ |b|2/2.
Είσοδος :

irem(148,5)

Έξοδος :

3

irem λειτουργεί με μεγάλου μήκους ακεραίους ή με Γκαουσιανούς ακεραίους.
Παράδειγμα :

irem(factorial(148),factorial(45)+2 )

Έξοδος :

111615339728229933018338917803008301992120942047239639312

Άλλο παράδειγμα

irem(25+12*i,5+7*i)

Έξοδος :

-4+i

Έδω το a−b*q=−4+i και |−4+i|2=17<|5+7*i|2/2=74/2=37

smod ή mods είναι μια προθηματική συνάρτηση και έχει δύο ακεραίους a και b ως ορίσματα.
smod ή mods επιστρέφει το συμμετρικό υπόλοιπο s της Ευκλείδειας διαίρεσης των ορισμάτων a και b (a=b*q+s με −b/2<s ≤ b/2).
Είσοδος :

smod(148,5)

Έξοδος :

-2

mod (ή %) είναι μια ενθηματική συνάρτηση και έχει δύο ακεραίους a και b ως ορίσματα.
mod (ή %) επιστρέφει r% b από Z/bZ όπου r είναι το υπόλοιπο της Ευκλείδειας διαίρεσης των ορισμάτων a και b.
Είσοδος :

148 mod 5

ή

148 % 5

Έξοδος :

3 % 5

Σημειώστε ότι η απάντηση 3 % 5 δεν είναι ακέραιος αριθμός (3) αλλά ένα στοιχείο Z/5Z (βλ. 1.31 για τις δυνατές πράξεις στο Z/5Z).