### 1.22.1 Συντελεστές Fourier : fourier_an και fourier_bn ή fourier_cn

Έστω f μια T-περιοδική συνάρτηση στο ℝ η οποία είναι συνεχής εκτός ίσως από ένα πεπερασμένο αριθμό σημείων. Μπορεί να αποδειχθεί ότι εάν η f είναι συνεχής στο x, τότε :

f(x)

=

a0
2

+

+∞
∑
n=1

ancos(

2π nx
T

)+bnsin(

2πnx
T

)

=

+∞
∑
n=−∞

cn e

2iπnx
T

όπου οι συντελεστές an, bn, n∈ N, (ή cn, n ∈ Z) είναι οι συντελεστές Fourier της f. Η εντολή fourier_an και fourier_bn ή fourier_cn υπολογίζει αυτούς τους συντελεστές.

#### fourier_an

fourier_an παίρνει 4 η 5 ορίσματα : μια παράσταση expr που εξαρτάται από μια μεταβλητή, το όνομα της μεταβλητής (για παράδειγμα x), την περίοδο T, έναν ακέραιο n και έναν πραγματικό a (ως προεπιλογή a=0).
fourier_an(expr,x,T,n,a) επιστρέφει τον συντελεστή Fourier an μιας συνάρτησης f μεταβλητής x που ορίζεται στο [a,a+T[ από f(x)=expr και τέτοια ώστε f να είναι περιοδική με περίοδο T:

an=

2
T

∫

a+T
a

f(x)cos(

2πnx
T

)dx

Για να απλοποιήσουμε τους υπολογισμούς, μπορούμε να εισάγουμε assume(n,integer) πριν καλέσουμε την fourier_an για να βεβαιώσουμε ότι ο n είναι ένας ακέραιος.
Παράδειγμα : Έστω η συνάρτηση f, με περίοδο T=2, που ορίζεται στο [−1,1[ από την f(x)=x2.
Για να υπολογίσουμε τον συντελεστή a0 εισάγουμε:

fourier_an(x`^`2,x,2,0,-1)

Έξοδος :

1/3

Για τον συντελεστή an (n≠ 0) εισάγουμε:

assume(n,integer);fourier_an(x`^`2,x,2,n,-1)

Έξοδος :

4*(-1)`^`n/(pi`^`2*n`^`2)

#### fourier_bn

fourier_bn παίρνει 4 ή 5 ορίσματα : μια παράσταση expr που εξαρτάται από μια μεταβήτή, το όνομα της μεταβλητής (για παράδειγμα x), την περίοδο T, έναν ακέραιο n και έναν πραγματικό a (απο προεπιλογή a=0).
fourier_bn(expr,x,T,n,a) επιστρέφει τον συντελεστή Fourier bn μιας συνάρτησης f μεταβλητής x που ορίζεται στο [a,a+T[ από f(x)=expr και περιοδική με περίοδο T:

bn=

2
T

∫

a+T
a

f(x)sin(

2πnx
T

)dx

Για να απλοποιήσουμε τους υπολογισμούς, μπορούμε να εισάγουμε assume(n,integer) πριν καλέσουμε την fourier_bn για να βεβαιώσουμε ότι ο n είναι ένας ακέραιος.
Παραδείγματα

- Έστω η συνάρτηση f, περιόδου T=2, ορισμένη στο [−1,1[ από την f(x)=x2.
  Για τον συντελεστή bn (n≠ 0) εισάγετε :
  assume(n,integer);fourier_bn(x`^`2,x,2,n,-1)
  Έξοδος :
  0
- Έστω η συνάρτηση f, περιόδου T=2, ορισμένη στο [−1,1[ από την f(x)=x3.
  Για τον συντελεστή b1 εισάγετε :
  fourier_bn(x`^`3,x,2,1,-1)
  Έξοδος :
  (2*pi`^`2-12)/pi`^`3

#### fourier_cn

fourier_cn παίρνει 4 ή 5 ορίσματα : μια παράσταση expr που εξαρτάται από μια μεταβήτή, το όνομα της μεταβλητής (για παράδειγμα x), την περίοδο T, έναν ακέραιο n και έναν πραγματικό a (από προεπιλογή a=0).
fourier_cn(expr,x,T,n,a) επιστρέφει τον συντελεστή Fourier cn μιας συνάρτησης f μεταβλητής x ορισμένης στο [a,a+T[ από την f(x)=expr και περιοδική με περίοδο T:

cn=

1
T

∫

a+T
a

f(x)e

−2iπnx
T

dx

Για να απλοποιήσουμε τους υπολογισμούς, μπορούμε να εισάγουμε την assume(n,integer) πριν να καλέσουμε την fourier_cn για να βεβαιώσουμε ότι ο n είναι ένας ακέραιος.
Παραδείγματα

- Βρείτε τους συντελεστές Fourier cn της περιοδικής συνάρτησης f περιόδου 2 και ορισμένης στο [−1,1[ ως f(x)=x2.
  Εισάγετε, για να πάρετε c0 :
  fourier_cn(x`^`2,x,2,0,-1)
  Έξοδος:
  1/3
  Εισάγετε, για να πάρετε cn :
  assume(n,integer)
  fourier_cn(x`^`2,x,2,n,-1)
  Έξοδος:
  2*(-1)`^`n/(pi`^`2*n`^`2)
- Βρείτε τους συντελεστές Fourier cn της περιοδικής συνάρτησης f, περιόδου 2, και ορισμένης στο [0,2[ ως f(x)=x2.
  Εισάγετε, για να πάρετε c0 :
  fourier_cn(x`^`2,x,2,0)
  Έξοδος:
  4/3
  Εισάγετε, για να πάρετε cn :
  assume(n,integer)
  fourier_cn(x`^`2,x,2,n)
  Έξοδος:
  ((2*i)*pi*n+2)/(pi`^`2*n`^`2)
- Βρείτε τους συντελεστές Fourier cn της περιοδικής συνάρτησης f περιόδου 2.π και ορισμένης στο [0,2.π[ ως f(x)=x2.
  Είσοδος :
  assume(n,integer)
  fourier_cn(x`^`2,x,2*pi,n)
  Έξοδος :
  ((2*i)*pi*n+2)/n`^`2
  Αν δεν βεβαιώσετε ότι n είναι ακέραιος με την εντολή assume(n,integer), το αποτέλεσμα δεν θα μπορεί να απλοποιηθεί :
  ((2*i)*pi`^`2*n`^`2*exp((-i)*n*2*pi)+2*pi*n*exp((-i)*n*2*pi)+
  (-i)*exp((-i)*n*2*pi)+i)/(pi*n`^`3)
  Θα μπορούσαμε να απλοποιήσουε αυτήν την παράσταση αντικαθιστώντας το exp((-i)*n*2*pi) με 1, Εισαγωγή :
  subst(ans(),exp((-i)*n*2*pi)=1)
  Έξοδος :
  ((2*i)*pi`^`2*n`^`2+2*pi*n+-i+i)/pi/n`^`3
  Αυτή η παράσταση απλοποιείται τότε με την normal, και το τελικό αποτέλεσμα είναι :
  ((2*i)*pi*n+2)/n`^`2
  Επομένως, για n ≠ 0, cn=2inπ+2/n2. Όπως φαίνεται σε αυτό το παράδειγμα, ειναι προτιμότερο να εισάγουμε assume(n,integer) πριν καλέσουμε fourier_cn.
  Πρέπει να υπολογίσουμε επίσης cn για n=0, εισάγουμε :
  fourier_cn(x`^`2,x,2*pi,0)
  Έξοδος :
  4*pi`^`2/3
  Επομένως, για n= 0, c0=4.π2/3.

Σχόλια :

- Εισάγουμε purge(n) για να άρουμε την υπόθεση που έγινε για το n.
- Εισάγουμε about(n) ή assume(n), για να μάθουμε ποια υπόθεση έγινε για το n.