### 1.33.5 Ανάπτυγμα Padé: pade

pade παίρνει 4 ορίσματα

- μια παράσταση f,
- το όνομα της μεταβλητής από την οποία εξαρτάται η παράσταση,
- έναν ακέραιο n ή ένα πολυώνυμο N,
- έναν ακέραιο p.

pade επιστρέφει ένα ρητό κλάσμα P/Q τέτοιο ώστε degree(P)<p και P/Q=f (mod xn+1 ) ή P/Q=f (mod N ). Στην πρώτη περίπτωση, σημαίνει ότι P/Q και f έχουν το ίδιο ανάπτυγμα Taylor στο 0 μέχρι την τάξη n.
Είσοδος :

pade(exp(x),x,5,3)

ή :

pade(exp(x),x,x`^`6,3)

Έξοδος :

(3*x`^`2+24*x+60)/(-x`^`3+9*x`^`2-36*x+60)

Για να επαληθεύσετε εισάγετε :

taylor((3*x`^`2+24*x+60)/(-x`^`3+9*x`^`2-36*x+60))

Έξοδος :

1+x+1/2*x`^`2+1/6*x`^`3+1/24*x`^`4+1/120*x`^`5+x`^`6*order_size(x)

το οποίο είναι το ανάπτυγμα 5-ης τάξης της exp(x) στο x=0.
Είσοδος :

pade((x`^`15+x+1)/(x`^`12+1),x,12,3)

ή :

pade((x`^`15+x+1)/(x`^`12+1),x,x`^`13,3)

Έξοδος :

x+1

Είσοδος :

pade((x`^`15+x+1)/(x`^`12+1),x,14,4)

ή :

pade((x`^`15+x+1)/(x`^`12+1),x,x`^`15,4)

Έξοδος :

(-2*x`^`3-1)/(-x`^`11+x`^`10-x`^`9+x`^`8-x`^`7+x`^`6-x`^`5+x`^`4- x`^`3-x`^`2+x-1)

Για να επαληθεύσετε εισάγετε :

series(ans(),x=0,15)

Έξοδος :

1+x-x`^`12-x`^`13+2x`^`15+x`^`16*order_size(x)

έπειτα εισάγετε :

series((x`^`15+x+1)/(`x^`12+1),x=0,15)

Έξοδος :

1+x-x`^`12-x`^`13+x`^`15+x`^`16*order_size(x)

Αυτές οι 2 παραστάσεις έχουν το ίδιο ανάπτυγμα 14ης τάξης στο x=0.