### 1.53.1 Επίλυση διαφορικών εξισώσεων : desolve deSolve
dsolve

desolve (ή deSolve) μπορεί να λύσει:

- γραμμικές διαφορικές εξισώσεις με σταθερούς συντελεστές,
- γραμμικές διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης,
- πρώτης τάξης διαφορικές εξισώσεις χωρίς y,
- πρώτης τάξης διαφορικές εξισώσεις χωρίς x,
- πρώτης τάξης διαφορικές εξισώσεις με χωρισμένες μεταβλητές,
- πρώτης τάξης ομογενείς διαφορικές εξισώσεις (y′=F(y/x)),
- πρώτης τάξης διαφορικές εξισώσεις με ολοκληρωτικό παράγοντα,
- πρώτης τάξης διαφορικές εξισώσεις Bernoulli (a(x)y′+b(x)y=c(x)yn),
- πρώτης τάξης διαφορικές εξισώσεις Clairaut (y=x*y′+f(y′)).

desolve παίρνει σαν ορίσματα :

- εάν η ανεξάρτητη μεταβλητή είναι η τρέχουσα μεταβλητή (εδώ υποτίθεται ότι είναι το x),
  - την διαφορική εξίσωση (ή την λίστα της διαφορικής εξίσωσης και των αρχικών συνθηκών)
  - την άγνωστο (συνήθως y).
  Στη διαφορική εξίσωση, η συνάρτηση y παρίσταται ως y, η πρώτη της παράγωγος y′ παρίσταται ως y′, και η δεύτερη παράγωγός της y′′ γράφεται ως y″.
  Για παράδειγμα desolve(y″+2*y′+y,y) ή
  desolve([y″+2*y′+y,y(0)=1,y′(0)=0],y).
- εάν η ανεξάρτητη μεταβλητή δεν είναι η τρέχουσα μεταβλητή, για παράδειγμα t αντί για x,
  - την διαφορική εξίσωση (ή την λίστα της διαφορικής εξίσωσης και των αρχικών συνθηκών),
  - την μεταβλητή, π.χ. t
  - την άγνωστο σαν μεταβλητή y ή σαν συνάρτηση y(t).
  Στη διαφορική εξίσωση, η συνάρτηση y παρίσταται ως y(t), η πρώτη της παράγωγος y′ παρίσταται ως diff(y(t),t), και η δεύτερη παράγωγός της y′′ γράφεται ως diff(y(t),t$2).
  Για παράδειγμα :
  desolve(diff(y(t),t$2)+2*diff(y(t),t)+y(t),y(t)), ή
  desolve(diff(y(t),t$2)+2*diff(y(t),t)+y(t),t,y) και

      desolve([diff(y(t),t$2)+2*diff(y(t),t)+y(t),
               y(0)=1,y'(0)=0],y(t)), or
      desolve([diff(y(t),t$2)+2*diff(y(t),t)+y(t),
               y(0)=1,y'(0)=0],t,y)

Εάν δεν υπάρχουν αρχικές συνθήκες (ή μια αρχική συνθήκη για μια εξίσωση δευτέρας τάξης), desolve επιστρέφει την γενική λύση ως προς τις σταθερές ολοκλήρωσης c_0, c_1, όπου y(0)=c_0 και y′(0)=c_1, ή μια λίστα λύσεων.
Παραδείγματα

- Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις δευτέρας τάξης με σταθερούς συντελεστές.
  1. Λύστε :

     y″+y=cos(x)

     Εισάγετε (πληκτρολογώντας δύο φορές ′ για y″):
     desolve(y″+y=cos(x),y)
     ή εισάγετε :
     desolve((diff( diff(y))+y)=(cos(x)),y)
     Έξοδος :
     c_0*cos(x)+(x+2*c_1)*sin(x)/2
     c_0, c_1 είναι οι σταθερές της ολοκλήρωσης: y(0)=c_0 και y′(0)=c_1.
     Εάν η μεταβλητή δεν είναι x αλλά t, εισάγετε :
     desolve(derive(derive(y(t),t),t)+y(t)=cos(t),t,y)
     Έξοδος :
     c_0*cos(t)+(t+2*c_1)/2*sin(t)
     c_0, c_1 είναι οι σταθερές της ολοκλήρωσης : y(0)=c_0 και y′(0)=c_1.
  2. Λύστε :

     y″+y=cos(x),y(0)=1

     Είσοδος :
     desolve([y″+y=cos(x),y(0)=1],y)
     Έξοδος :
     [cos(x)+(x+2*c_1)/2*sin(x)]
     τα στοιχεία του διανύσματος είναι λύσεις (εδώ υπάρχει μόνο ένα στοιχείο, έτσι έχουμε ακριβώς μία λύση που εξαρτάται από το c_1).
  3. Λύστε :

     y″+y=cos(x)     (y(0))2=1

     Είσοδος :
     desolve([y″+y=cos(x),y(0)`^`2=1],y)
     Έξοδος:
     [-cos(x)+(x+2*c_1)/2*sin(x),cos(x)+(x+2*c_1)/2*sin(x)]
     κάθε στοιχείο αυτής της λίστας είναι μια λύση, έχουμε δύο λύσεις που εξαρτώνται από τη σταθερά c_1 (y′(0)=c1) και που αντιστοιχούν σε y(0)=1 και σε y(0)=−1.
  4. Λύστε :

     y″+y=cos(x),     (y(0))2=1y′(0)=1

     Είσοδος:
     desolve([y″+y=cos(x),y(0)`^`2=1,y’(0)=1],y)
     Έξοδος :
     [-cos(x)+(x+2)/2*sin(x),cos(x)+(x+2)/2*sin(x)]
     κάθε στοιχείο αυτής της λίστας είναι μια λύση (έχουμε δύο λύσεις).
  5. Λύστε :

     y″+2y′+y=0

     Είσοδος :
     desolve(y″+2*y′+y=0,y)
     Έξοδος :
     (x*c_0+x*c_1+c_0)*exp(-x)
     Η λύση εξαρτάται από δύο σταθερές ολοκλήρωσης : c_0, c_1 ( y(0)=c_0 και y′(0)=c_1).
  6. Λύστε:

     y″−6y′+9y=xe3x

     Είσοδος:
     desolve(y″-6*y′+9*y=(x*exp(3*x),y)
     Έξοδος :
     (x`^`3+(-(18*x))*c_0+6*x*c_1+6*c_0)*1/6*exp(3*x)
     η λύση εξαρτάται από δύο σταθερές ολοκλήρωσης : c_0, c_1 ( y(0)=c_0 και y′(0)=c_1).
- Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης.
  1. Λύστε :

     xy′+y−3x2=0

     Είσοδος :
     desolve(x*y′+y-3*x`^`2,y)
     Έξοδος :
     (3*1/3*x`^`3+c_0)/x
  2. Λύστε :

     y′+x*y=0,y(0)=1

     Είσοδος :
     desolve([y′+x*y=0, y(0)=1]),y)
     ή :
     desolve((y′+x*y=0) && (y(0)=1),y)
     Έξοδος :
     [1/(exp(1/2*x`^`2))]
  3. Λύστε :

     x(x2−1)y′+2y=0

     Είσοδος :
     desolve(x*(x`^`2-1)*y′+2*y=0,y)
     Έξοδος :
     (c_0)/((x`^`2-1)/(x`^`2))
  4. Λύστε :

     x(x2−1)y′+2y=x2

     Είσοδος:
     desolve(x*(x`^`2-1)*y′+2*y=x`^`2,y)
     Έξοδος :
     (ln(x)+c_0)/((x`^`2-1)/(x`^`2))
  5. Εάν η μεταβλητή είναι t αντί για x, για παράδειγμα :

     t(t2−1)y′(t)+2y(t)=t2

     Είσοδος :
     desolve(t*(t`^`2-1)*diff(y(t),t)+2*y(t)=(t`^`2),y(t))
     Έξοδος :
     (ln(t)+c_0)/((t`^`2-1)/(t`^`2))
  6. Λύστε :

     x(x2−1)y′+2y=x2,y(2)=0

     Είσοδος :
     desolve([x*(x`^`2-1)*y′+2*y=x`^`2,y(0)=1],y)
     Έξοδος :
     [(ln(x)-ln(2))*1/(x`^`2-1)*x`^`2]
  7. Λύστε :

     √

     1+x2

     y′−x−y=

     √

     1+x2

     Είσοδος :
     desolve(y′*sqrt(1+x`^`2)-x-y-sqrt(1+x`^`2),y)
     Έξοδος :
     (-c_0+ln(sqrt(x`^`2+1)-x))/(x-sqrt(x`^`2+1))
- Διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης με χωρισμένες μεταβλητές
  1. Λύστε :

     y′=2

     √

     y

     Είσοδος :
     desolve(y′=2*sqrt(y),y)
     Έξοδος :
     [x`^`2+-2*x*c_0+c_0`^`2]
  2. Λύστε :

     xy′ln(x)−y(3ln(x)+1)=0

     Είσοδος :
     desolve(x*y′*ln(x)-(3*ln(x)+1)*y,y)
     Έξοδος :
     c_0*x`^`3*ln(x)
- Διαφορικές εξισώσεις Bernoulli a(x)y′+b(x)y=c(x)yn όπου n είναι μια πραγματική σταθερά.
  Η μέθοδος που χρησιμοποιείται είναι να διαιρέσουμε την εξίσωση με yn, έτσι ώστε να γίνει μια διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης ως προς u=1/yn−1.
  1. Λύστε :

     xy′+2y+xy2=0

     Είσοδος :
     desolve(x*y′+2*y+x*y`^`2,y)
     Έξοδος :
     [1/(exp(2*ln(x))*(-1/x+c_0))]
  2. Λύστε :

     xy′−2y=xy3

     Είσοδος :
     desolve(x*y′-2*y-x*y`^`3,y)
     Έξοδος :
     [((-2*1/5*x`^`5+c_0)*exp(-(4*log(x))))`^`(1/-2),
     -((-2*1/5*x`^`5+c_0)*exp(-(4*log(x))))`^`(1/-2)]
  3. Λύστε :

     x2y′−2y=xe4/xy3

     Είσοδος :
     desolve(x*y′-2*y-x*exp(4/x)*y`^`3,y)
     Έξοδος :
     [((-2*ln(x)+c_0)*exp(-(4*(-(1/x)))))`^`(1/-2),
     -(((-2*ln(x)+c_0)*exp(-(4*(-(1/x)))))`^`(1/-2))]
- Ομογενείς διαφορικές εξισώσεεις πρώτης τάξης (y′=F(y/x), η μέθοδος της ολοκλήρωσης συνίσταται στο να ψάξουμε για t=y/x αντί για y).
  1. Λύστε :

     (3x3y′=y(3x2−y2)

     Είσοδος :
     desolve(3*x`^`3*diff(y)=((3*x`^`2-y`^`2)*y),y)
     Έξοδος :
     [0,[c_0*exp((3*1/2)/(‘t‘`^`2)),
     ‘t‘*c_0*exp((3*1/2)/(‘t‘`^`2))]]
     έτσι, οι λύσεις είναι y=0 και η οικογένεια των καμπυλών των παραμετρικών εξισώσεων x=c0exp(3/(2t2)), y=t*c0exp(3/(2t2)) (η παράμετρος δηλώνεται με ‘t‘ στην απάντηση).
  2. Λύστε :

     xy′=y+

     √

     x2+y2

     Είσοδος :
     desolve(x*y′=y+sqrt(x`^`2+y`^`2),y)
     Έξοδος :
     [(-i)*x,(i)*x,[c_0/(sqrt(‘t‘`^`2+1)-‘t‘),
     (‘t‘*c_0)/(sqrt(‘t‘`^`2+1)-‘t‘)]]
     άρα οι λύσεις είναι :

     y=ix,y=−ix

     και η οικογένεια των καμπυλών των παραμετρικών εξισώσεων

     x=c0/(

     √

     t2+1

     −t),y=t*c0/(

     √

     t2+1

     −t)

     (η παράμετρος δηλώνεται με ‘t‘ στην απάντηση).
- Διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης με ολοκληρωτικό παράγοντα. Πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση με μια συνάρτηση του x,y, γίνεται μια κλειστή διαφορική μορφή.
  1. Λύστε :

     yy′+x

     Είσοδος :
     desolve(y*y′+x,y)
     Έξοδος :
     [sqrt(-2*c_0-x`^`2),-(sqrt(-2*c_0-x`^`2))]
     Σε αυτό το παράδειγμα, το xdx+ydy είναι κλειστό, ο ολοκληρωτικός παράγοντας ήταν 1.
  2. Λύστε :

     2xyy′+x2−y2+a2=0

     Είσοδος :
     desolve(2*x*y*y′+x`^`2-y`^`2+a`^`2,y)
     Έξοδος :
     [sqrt(a`^`2-x`^`2-c_1*x),-(sqrt(a`^`2-x`^`2-c_1*x))]
     Σε αυτό το παράδειγμα, ο ολοκληρωτικός παράγοντας ήταν 1/x2.
- Διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης χωρίς το x.
  Λύστε :

  (y+y′)4+y′+3y=0

  Αυτό το είδος εξισώσεων δεν μπορεί να λυθεί άμεσα με το Xcas, εξηγούμε όμως πως λύνονται με τη βοήθειά του. Η ιδέα είναι να βρούμε μια παραμετρική αναπαράσταση του F(u,v)=0 όπου η εξίσωση είναι F(y,y′)=0, Έστω u=f(t),v=g(t) μια τέτοια παραμετροποίηση του F=0, τότε y=f(t) και dy/dx=y′=g(t). Άρα,

  dy/dt=f′(t)=y′*dx/dt=g(t)*dx/dt

  Η λύση είναι η καμπύλη των παραμετρικών εξισώσεων x(t), y(t)=f(t), όπου x(t) είναι λύση της διαφορικής εξίσωσης g(t)dx=f′(t)dt.
  Πίσω στο παράδειγμα, θέτουμε y+y′=t, οπότε:

  y=−t−8*t4,y′=dy/dx=3*t+8*t4 dy/dt=−1−32*t3

  και επομένως

  (3*t+8*t4)*dx=(−1−32*t3)dt

  Είσοδος :
  desolve((3*t+8*t`^`4)*diff(x(t),t)=(-1-32*t`^`3),x(t))
  Έξοδος :
  -11*1/9*ln(8*t`^`3+3)+1/-9*ln(t`^`3)+c_0
  Η λύση είναι η καμπύλη της παραμετρικής εξίσωσης:

  x(t)=−11*1/9*ln(8*t3+3)+1/−9*ln(t3)+c0,y(t)=−t−8*t4

- Διαφορικές εξισώσεις Clairaut πρώτης τάξης (y=x*y′+f(y′)).
  Οι λύσεις είναι οι γραμμές Dm της εξίσωσης y=mx+f(m) όπου m είναι μια πραγματική σταθερά.
  1. Λύστε :

     xy′+y′3−y)=0

     Είσοδος :
     desolve(x*y′+y′`^`3-y),y)
     Έξοδος :
     c_0*x+c_0`^`3
  2. Λύστε :

     y−xy′=

     √

     a2+b2*y′2

     =0

     Είσοδος :
     desolve((y-x*y′-sqrt(a`^`2+b`^`2*y′`^`2),y)
     Έξοδος :
     c_0*x+sqrt(a`^`2+b`^`2*c_0`^`2)