### 1.33.2 Ανάπτυγμα Taylor : taylor

taylor παίρνει από 1 μέχρι 4 ορίσματα :

- μια παράσταση που εξαρτάται από μια μεταβλητή (από προεπιλογή x),
- μια ισότητα variable=value (π.χ. x=a) για τον υπολογισμό του αναπτύγματος Taylor, από προεπιλογή x=0,
- έναν ακέραιο n, την τάξη του αναπτύγματος σε σειρά, από προεπιλογή 5,
- μια κατεύθυνση -1, 1 (για ανάπτυγμα σε σειρά προς μία κατεύθυνση) ή 0 (για ανάπτυγμα σε σειρά σε δύο κατευθύνσεις) (από προεπιλογή 0).

Σημειώσατε ότι η σύνταξη …,x,n,a,... (αντί για …,x=a,n,...) είναι επίσης αποδεκτή.
taylor επιστρέφει ένα πολυώνυμο ως προς x-a, συν ένα υπόλοιπο της μορφής:
(x-a)`^`n*order_size(x-a)
όπου order_size είναι μια συνάρτηση τέτοια ώστε,

∀r>0,

lim
x→ 0

xrorder_size(x) = 0

Για κανονικό ανάπτυγμα σε σειρά, η order_size είναι μια φραγμένη συνάρτηση, αλλά για μη κανονικό ανάπτυγμα σε σειρά, μπορεί να τείνει αργά στο άπειρο, για παράδειγμα σαν μια δύναμη του ln(x).
Είσοδος :

taylor(sin(x),x=1,2)

ή (προσέξτε την διάταξη των ορισμάτων !) :

taylor(sin(x),x,2,1)

Έξοδος :

sin(1)+cos(1)*(x-1)+(-(1/2*sin(1)))*(x-1)`^`2+ (x-1)`^`3*order_size(x-1)

Σχόλιο
Η τάξη που επιστρέφεται από την taylor μπορεί να είναι μικρότερη από n εάν γίνονται απαλοιφές μεταξύ αριθμητών και παρονομαστών, για παράδειγμα

taylor(

x3+sin(x)3
x−sin(x)

)

Είσοδος :

taylor(x`^`3+sin(x)`^`3/(x-sin(x)))

Η έξοδος είναι ανάπτυγμα σε σειρά μόνο δεύτερης τάξης :

6+-27/10*x`^2`+x`^`3*order_size(x)

Πράγματι, ο μικρότερος βαθμός του αριθμητή και του παρονομαστή είναι 3, και γι’ αυτό χάνουμε 3 τάξεις. Για να πάρουμε ανάπτυγμα σε σειρά 4ης τάξης, πρέπει να ζητήσουμε n=7, εισάγοντας :

taylor(x`^`3+sin(x)`^`3/(x-sin(x)),x=0,7)

Έξοδος είναι ανάπτυγμα σε σειρά 4ης τάξης :

6+-27/10*x`^`2+x`^`3+711/1400*x`^`4+x`^`5*order_size(x)