### 1.53.2 Μετασχηματισμός Laplace και αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace : laplace ilaplace

laplace (ή ilaplace) παίρνει ένα, δύο ή τρία ορίσματα : μια παράσταση και προαιρετικά το (τα) όνομα (ονόματα) της (των) μεταβλητής (μεταβλητών).
Η παράσταση είναι ως προς την τρέχουσα μεταβλητή (όπου x) ή ως προς την μεταβλητή που δίνεται σαν δεύτερο όρισμα.
laplace επιστρέφει τον μετασχηματισμό Laplace της παράστασης που δίνεται ως όρισμα και η ilaplace τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace της παράστασης που δίνεται ως όρισμα. Το αποτέλσμα της laplace και της ilaplace είναι ως προς την μεταβλητή που δίνεται σαν τρίτο όρισμα, εάν αυτό παρέχεται, ή ως προς το δεύτερο όρισμα εάν αυτό παρέχεται ή διαφορετικά ως προς x.

Ο μετασχηματισμός Laplace ( laplace) και ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace ( ilaplace) χρησιμεύουν στην επίλυση γραμμικών διαφορικών εξισώσεων με σταθερούς συντελεστές. Για παράδειγμα :

y″ +p.y′+q.y=f(x)

y(0)=a,y′(0)=b

Συμβολίζοντας με L τον μετασχηματισμό Laplace, οι ακόλουθες σχέσεις ισχύουν :

L(y)(x)

=

∫

+∞
0

e−x.uy(u)du

L−1(g)(x)

=

1
2iπ

∫

C

ez.xg(z)dz

όπου C είναι μία κλειστή καμπύλη που περιλαμβάνει τους πόλους του g.
Είσοδος :

laplace(sin(x))

Η παράσταση (εδώ sin(x)) είναι ως προς την τρέχουσα μεταβλητή (εδώ x) και η απάντηση θα είναι επίσης μια παράσταση ως προς την τρέχουσα μεταβλητή x.
Έξοδος :

1/((-x)`^`2+1)

Ή εισάγετε :

laplace(sin(t),t)

εδώ το όνομα μεταβλητής είναι t και αυτό το όνομα χρησιμοποιείται επίσης στην απάντηση.
Έξοδος :

1/((-t)`^`2+1)

Ή εισάγετε :

laplace(sin(t),t,s)

εδώ το όνομα της μεταβλητής είναι t και το όνομα της μεταβλητής στην απάντηση είναι s.
Έξοδος:

1/((-s)`^`2+1)

Οι ακόλουθες ιδιότητες ισχύουν :

L(y′)(x) | = | −y(0)+x.L(y)(x)
L(y″)(x) | = | −y′(0)+x.L(y′)(x)
| = | −y′(0)−x.y(0)+x2.L(y)(x)

Εάν y″(x) +p. y′(x)+q. y(x) = f(x) τότε :

L(f)(x) | = | L(y″+p.y′+q.y)(x)
| = | −y′(0)−x.y(0)+x2.L(y)(x)−p.y(0)+p.x.L(y)(x))+q.L(y)(x)
| = | (x2+p.x+q).L(y)(x)−y′(0)−(x+p).y(0)

Επομένως, εάν a=y(0) και b=y′(0), έχουμε

L(f)(x)=(x2+p.x+q).L(y)(x)−(x+p).a−b

και η λύση της διαφορικής εξίσωσης είναι :

y(x)= L−1((L(f)(x)+(x+p).a+b)/(x2+p.x+q))

Παράδειγμα :
Λύστε :

y″ −6.y′+9.y=x.e3.x,y(0)=c_0,y′(0)=c_1

Εδώ, p=−6, q=9.
Εισάγετε :

laplace(x*exp(3*x))

Έξοδος :

1/(x`^` 2-6*x+9)

Είσοδος:

ilaplace((1/(x`^`2-6*x+9)+(x-6)*c_0+c_1)/(x`^`2-6*x+9))

Έξοδος :

(216*x`^`3-3888*x*c_0+1296*x*c_1+1296*c_0)*exp(3*x)/1296

Μετά από απλοποίηση και παραγοντοποίηση (με την εντολή factor) η λύση y είναι :

(-18*c_0*x+6*c_0+x`^`3+6*x*c_1)*exp(3*x)/6

Σημειώστε ότι αυτή η εξίσωση θα μπορούσε να λυθεί άμεσα, εισάγοντας :

desolve(y″-6*y′+9*y=x*exp(3*x),y)

Έξοδος :

exp(3*x)*(-18*c_0*x+6*c_0+x`^`3+6*x*c_1)/6